SMK 10 Matematika_Toali Html

Matematika X
Sekolah Menengah Kejuruan
(SMK)
Kelompok
Penjualan dan Akuntansi
Untuk kelas X
To’ali
Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
ii
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
Matematika X
Sekolah Menengah Kejuruan
Kelompok Penjualan dan Akuntansi
Penulis : To’ali
Ukuran Buku : 17,6 x 25 cm
Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2008
Diperbanyak oleh ...
510.07
TOA To’ali
m Matematika X : Sekolah Menengah Kejuruan
Kelompok Penjualan dan Akuntansi / To’ali. – Jakarta:
x, 163 hlm.: ilus.; 25 cm.
Bibliografi hlm.163
Indeks hlm. 160-162
ISBN 979-462-870-0
1. Matematika – Studi dan Pengajaran
I. Judul
iii
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan
karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada
tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis untuk
disebarluaskan kepada masyarakat melalui website Jaringan Pendidikan
Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan
dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat
kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan
Menteri Pendidikan Nasional Nomor 12 Tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para
penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada
Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para
pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada
Departemen Pendidikan Nasional tersebut, dapat diunduh (down load),
digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun,
untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus
memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa
buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga peserta didik dan
pendidik di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar
negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Selanjutnya,
kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah
buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu
ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.
Jakarta, Juni 2008
Kepala Pusat Perbukuan
Kata Sambutan
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat begitu besar pada kita
semua, sehingga, buku matematika SMK untuk kelas X Kelompok Penjualan dan
Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan dapat terselesaikan dengan baik.
Buku ini disusun berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik
Indonesia No. 22 dan 23 Tahun 2006 yang tertuang dalam Standar Isi dan Standar
Kompetensi Lulusan untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah. Selain memuat
uraian yang berisikan pengembangan standar kompetensi dan kompetensi dasar,
buku ini juga berisikan konsep-konsep dasar matematika yang dapat digunakan pada
kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan Penjualan dan Akuntansi.
Tiap bab berisi teori yang harus dipahami secara benar oleh peserta didik dan disertai
dengan contoh-contoh soal yang relevan dengan teori tersebut. Selain itu terdapat
juga soal-soal yang didasarkan pada konsep dan teori yang dibahas sebagai alat uji
untuk mengukur kemampuan peserta didik dalam penguasaan materi tersebut.
Dalam mengembangkan buku ini, penulis berupaya agar materi yang disajikan sesuai
dengan kebutuhan kompetensi yang harus dicapai pada kelas X bidang Penjualan dan
Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan. Oleh karenanya, selain dari hasil pemikiran
dan pengalaman penulis sebagai guru matematika pada SMK Bisnis dan Manajemen,
materi yang dikembangkan juga diperkaya dengan referensi-referensi lain yang sesuai.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang mendukung buku ini
dapat diterbitkan. Mudah-mudahan buku ini dapat bermanfaat bagi peserta didik
dalam mengembangkan kemampuan matematikanya. Namun demikian penulis
menyadari bahwa buku ini masih perlu dikembangkan terus. Sehingga saran dari
berbagai pihak pengguna buku ini sangat diharapkan.
Penulis
v
Kata Sambutan ………………………………………………………………………… iii
Kata Pengantar ………………………………………………………………………… iv
Daftar Isi ………………………………………………………………………………… v
Petunjuk Penggunaan Buku………………………………………………………… viii
BAB 1 Sistem Bilangan Riil…………………………………………………
A. Operasi pada Bilangan Riil.………………………………………………..
1. Skema Bilangan......................................................….….
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan...........................
3. Operasi Perkalian dan Pembagian....................................
4. Mengonversikan Pecahan ke Persen atau Sebaliknya.........
5. Mengonversikan Pecahan ke Desimal atau sebaliknya.......
6. Contoh-Contoh Soal Aplikasi...........................................
7. Perbandingan Senilai......................................................
8. Perbandingan Berbalik Nilai............................................
B. Rangkuman Operasi pada Bilangan Riil...................................
C. Bilangan Berpangkat..............................................................
1. Pengertian Bilangan Berpangkat......................................
2. Aturan Dasar Pengoperasian Bilangan Berpangkat............
D. Rangkuman Bilangan Berpangkat............................................
E. Bilangan Irasional..................................................................
1. Definisi Bentuk Akar........................................................
2. Menyederhanakan Bentuk Akar........................................
3. Mengoperasikan Bentuk Akar..........................................
F. Rangkuman Bilangan Irasional................................................
G. Logaritma..............................................................................
1. Logaritma Biasa (Briggs).................................................
2. Sifat-Sifat Logaritma.......................................................
3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Tabel/Daftar
Logaritma......................................................................
4. Antilogaritma.................................................................
5. Operasi pada Logaritma..................................................
H. Rangkuman Logaritma...........................................................
Uji Kemampuan …………………………………………………………………
1
3345678
12
13
15
19
19
19
21
23
23
24
24
27
28
28
28
30
32
32
34
36
BAB 2 Persamaan dan Pertidaksamaan…………………………………..
A. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier……………………………………
1. Definisi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier....................
2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier satu Variabel......
3. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel.......
4. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier satu
Variabel...........................................................................
43
46
46
46
48
51
DAFTAR ISI
vi
5. Soal-Soal Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier.....
B. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Linier....................
C. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat..................................
1. Persamaan Kuadrat...........................................................
2. Pertidaksamaan Kuadrat....................................................
3. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat...................................
4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat.
D. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat................
E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat..................
1. Menyusun Persamaan Kuadrat...........................................
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-Akar
Persamaan Kuadrat Lain....................................................
3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat.................
F. Rangkuman Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Uji Kemampuan ………………………………………………………………….
54
56
59
59
62
65
66
67
69
69
70
71
72
74
BAB 3 Matriks......................…………………………………………………
A. Macam-Macam Matriks.........………………………………………………..
1. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks.................................
2. Transpose Matriks.............................................................
3. Kesamaan Dua Matriks......................................................
B. Rangkuman Macam-Macam Matriks..........................................
C. Operasi pada Matriks...............................................................
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks...............................
2. Perkalian Matriks...............................................................
D. Rangkuman Operasi pada Matriks............................................
E. Determinan dan Invers Matriks................................................
1. Determinan Matriks Ordo Dua............................................
2. Determinan Matriks Ordo Tiga............................................
3. Minor, Kofaktor, dan Adjoin................................................
4. Invers Matriks...................................................................
5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier..............................
F. Rangkuman Determinan dan Invers Matriks..............................
Uji Kemampuan ………………………………………………………………….
79
81
81
84
84
85
87
87
88
92
95
95
95
97
98
102
105
108
BAB 4 Program Linier……….…………………………………………………
A. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier .…
1. Pengertian Program Linier................................................
2. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
Satu Variabel…………………………………………………………………
3. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
Dua Variabel………………………………………………………………….
B. Rangkuman Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem
Pertidaksamaan Linier .…………………………………………………………
C. Model Matematika dari Soal Cerita (Kalimat Verbal)...................
1. Pengertian Model Matematika.............................................
2. Mengubah Kalimat Verbal menjadi Model Matematika dalam
Bentuk Sistem Pertidaksamaan ..........................................
D. Rangkuman Model Matematika dari Soal Cerita (Kalimat Verbal)
113
115
115
116
117
122
124
124
124
128
vii
E. Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksaamaan Linier.....................
F. Rangkuman Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksaamaan Linier..
G. Garis Selidik............................................................................
H. Rangkuman Garis Selidik.........................................................
Uji Kemampuan ………………………………………………………………….
129
133
136
138
139
Kunci Jawaban........................................................................................
Glosarium...............................................................................................
Indeks....................................................................................................
Daftar Pustaka ……………………………………………………………………....
149
158
160
163
viii
A. Deskripsi Umum
Materi yang tercakup pada matematika SMK Kelompok Penjualan dan
Akuntansi kelas X terdiri atas 4 standar kompetensi yaitu:
1. Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil
2. Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan
pertidaksamaan linier dan kuadrat
3. Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks
4. Menyelesaikan masalah program linier
Setelah mempelajari buku ini, kompetensi yang diharapkan adalah peserta
didik dapat menerapkan konsep sistem bilangan riil, konsep Persamaan dan
Pertidaksamaan, konsep Matriks dan Program Linear dalam menunjang
program keahlian kelompok Penjualan dan Akuntansi.
Pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan buku ini adalah
menggunakan pende-katan peserta didik aktif melalui berbagai metode,
seperti pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah, dan presentasi. Guru
merancang pembelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya
kepada peserta didik untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara
mandiri ataupun bersama-sama.
B. Prasyarat Umum
Standar kompetensi yang terdapat pada uraian-uraian materi mempunyai
hubungan satu sama lainnya tetapi penguasaan kompetensinya tidak
berurutan. Sehingga dalam mempelajari buku ini tidak harus berurutan
sesuai dengan daftar isi. Namun demikian setiap satu standar kompetensi
harus dikuasai secara tuntas baru dapat pindah pada standar kompetensi
yang lain. Walaupun begitu, sangat disarankan agar menguasai kompetensi
yang paling mendasar yaitu memecahkan masalah berkaitan dengan
konsep operasi bilangan riil, baru pindah pada kompetensi lainnya.
C. Cara Menggunakan Buku
1. Penjelasan untuk Peserta Didik
a. Bacalah buku ini mulai dari kata pengantar, petunjuk penggunaan
buku kemudian pahami benar isi dari setiap babnya
b. Kerjakan semua tugas-tugas yang ada dalam buku ini agar
kompetensi kalian berkembang sesuai standar.
PETUNJUK
PENGGUNAAN BUKU
ix
c. Buatlah rencana belajar untuk mempelajari buku ini dan
konsultasikan rencana kalian tersebut dengan gurumu.
d. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai
dengan rencana kegiatan belajar yang telah kalian susun.
e. Setiap mempelajari satu subkompetensi, harus di mulai dari
menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi), membaca
rangkumannya dan mengerjakan soal latihan baik melalui bimbingan
guru ataupun tugas di rumah.
f. Dalam mengerjakan soal-soal latihan kalian jangan melihat kunci
jawaban terlebih dahulu, sebelum kalian menyelesaikan soal-soal
tersebut.
g. Setiap menyelesaikan satu standar kompetensi, selesaikan uji
kemampuan untuk menghadapi ujian yang diberikan oleh guru.
2. Peranan Guru
a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing peserta didik dalam menyelesaikan tugas-tugas/latihan
yang dijelaskan dalam tahap belajar.
c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab
pertanyaan mengenai proses belajar peserta didik.
d. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber
tambahan lain yang diperlukan untuk belajar.
e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Melaksanakan penilaian.
g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk
dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.
h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didik dengan memberikan
evaluasi. Pemberian evaluasi kepada peserta didik diharapkan diambil
dari soal-soal Uji Kemampuan yang tersedia.
D. Pengukuran Kemampuan
Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi dapat
digunakan rumus berikut:
1. Soal pilihan ganda
Tingkat Penguasaan =
jumlah soal
jumlah jawaban yang benar X 100 %
2. soal essay
Tingkat pengusaan = x 100%
skor maksimum
skor yang diperoleh
Arti tingkat penguasaan yang kalian capai :
90% - 100% = baik sekali
76% - 89% = baik
x
60% - 75% = sedang
< 60% = kurang
Jika soal terdiri dari pilihan ganda dan essay, tingkat pengusaan total adalah
jumlah tingkat pengusaan pada soal pilihan ganda dan essay
Jika anda mencapai tingkat penguasaan 60% ke atas, anda dapat
meneruskan materi yang membahas kompetensi dasar berikutnya, tetapi
sangat disarankan agar pengusaan yang belum tuntas juga tetap dipelajari
lagi agar seluruh kompetensi dasar dapat terkuasai secara baik.
Jika tingkat penguasaan kalian di bawah 60%, kalian harus mengulangi
materi tersebut terutama yang belum dikuasai.
Sumber: Art & Gallery
SISTEM
1 BILANGAN RIIL
2 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Standar kompetensi sistem bilangan riil terdiri atas empat kompetensi dasar. Dalam
penyajian pada buku ini, setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan
latihan. Rangkuman diletakkan pada setiap akhir bahasan suatu kompetensi dasar.
Kompetensi dasar pada bab ini adalah operasi pada bilangan riil, operasi pada bilangan
berpangkat, operasi pada bilangan irasional, dan konsep logaritma. Standar
kompetensi ini digunakan sebagai kemampuan dasar untuk mempelajari kompetensikompetensi
yang lain. Sebelum mempelajari kompetensi ini ingatlah kembali tentang
penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, penjumlahan dan pengurangan
pecahan, desimal dan persen.
Perhatikan gambar 1-1 di bawah ini:
Perhitungan bunga di bank menggunakan operasi bilangan berpangkat, dan masih
banyak lagi kegunaan dari sistem bilangan riil.
Pada setiap akhir kompetensi dasar, tercantum soal-soal latihan yang disusun dari
soal-soal yang mudah hingga soal-soal yang sulit. Latihan soal ini digunakan untuk
mengukur kemampuan kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah
mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai
fasilitator, ukurlah sendiri kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan
tersebut.
Untuk melancarkan kemampuan kalian agar lebih baik dalam mengerjakan soal,
disarankan semua soal dalam latihan ini dapat dikerjakan di sekolah dengan bimbingan
guru maupun di rumah.
Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir
kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum
layak mempelajari standar kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian
dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.
Gambar 1-1 di samping
merupakan alat-alat elektronik
yang dijual di pasar swalayan.
Kegiatan jual beli di pasar tersebut
membutuhkan pengetahuan
tentang persen, rugi atau laba,
diskon dan perhitungan bilangan
riil lainnya. Oleh karena itu
pengetahuan tentang operasi
bilangan riil sangat dibutuhkan
pada kehidupan sehari-hari di
rumah, di tempat kerja di pasar
maupun di tempat lainnya.
Pernahkah kalian bayangkan
bagaimana menghitung bunga
maupun jumlah simpanan di suatu
Gambar 1-1 Alat-alat elektronik di pasar swalayan bank?
BAB I Sistem Bilangan Real 3
A. Operasi pada Bilangan Riil
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 membuat skema bilangan riil,
􀂾 mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat,
􀂾 mengoperasikan dua atau lebih bilangan pecahan,
􀂾 mengonversikan pecahan ke persen atau sebaliknya,
􀂾 mengonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya,
􀂾 mengonversikan persen ke desimal atau sebaliknya,
􀂾 mengoperasikan bilangan pecahan dengan bilangan bulat,
􀂾 menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan senilai,
􀂾 menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan berbalik nilai,
􀂾 menyatakan ukuran yang sebenarnya jika ukuran pada gambar dan skalanya
diketahui, atau sebaliknya, dan
􀂾 menyatakan perbandingan ke dalam bentuk persen.
1. Skema Bilangan
Sebelum membahas operasi pada bilangan riil, perhatikan peta konsep bilangan di
bawah ini.
Gambar 1-2 Peta konsep bilangan
4 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Keterangan:
• Contoh bilangan imajiner −1 = biasanya dilambangkan dengan i , − 2 , dan
seterusnya.
• Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dibentuk menjadi
b
a
dengan b 􀂏 0
• Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk menjadi
b
a
atau
bilangan yang banyaknya desimal tidak terhingga.
• Bilangan cacah adalah bilangan positif ditambah nol.
• Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor.
• Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki faktor lebih dari dua.
Contoh 1
Beberapa bilangan irasional, yaitu 2 = 1,42… ; log 3 = 0, 477… ; π = 3,14…. dll
Ada bilangan yang memiliki banyaknya desimal tak terhingga, namun merupakan
bilangan rasional, yaitu bilangan desimal berulang.
Desimal berulang dinotasikan dengan tanda garis (bar) di atas angka yang berulang.
Contoh 2
Beberapa bilangan desimal berulang, yaitu:
0,666. . . . = 0,6
2,363636. . . . = 2,36
5,125252525. . . . = 5,125
Untuk mengubah desimal berulang menjadi pecahan, gunakanlah cara berikut:
Berulang 1 penyebutnya 9, berulang 2 penyebutnya 99 dan seterusnya.
Contoh 3
Ubahlah bilangan desimal berulang di bawah ini menjadi pecahan.
a. 0,333333. . . . d. 0,022222. . . .
b. 0,777777. . . . e. 2,111111. . . .
c. 0,181818. . . . f. 0,549549. . . .
Jawab:
a. 0,333333. . . . =
9
3
=
3
1
d. 0,022222. . . . =
45
1
90
2
=
b. 0,777777. . . . =
9
7
e. 2,111111. . . . = 2
9
1
c. 0,181818. . . . =
11
2
99
18
= f. 0,549549. . . . =
111
61
999
549
=
2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan yaitu:
• Komutatif : a + b = b + a
Misalkan :10 + (-3) = -3 +10
7 = 7
BAB I Sistem Bilangan Real 5
• Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Misalkan: (2 + 7) + 5 = 2 + (7 + 5)
9 + 5 = 2 + 12
14 = 14
• Memiliki elemen netral penjumlahan, yaitu 0
• Memiliki invers penjumlahan. Invers penjumlahan dari a adalah -a
Contoh 4
Invers penjumlahan dari 2 adalah -2, invers penjumlahan dari -5 adalah 5
Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan, berlaku rumus berikut:
c
a b
c
b
c
a +
+ =
bd
ad bc
d
c
b
a +
+ =
c
a b
c
b
c
a −
− =
bd
ad bc
d
c
b
a −
− =
Contoh 5
a.
8
5
8
2 3
8
3
8
2
=
+
+ = c.
35
9
35
5 14
7 5
1 5 2 7
5
2
7
1
= −
−
=
×
× − ×
− =
b.
15
19
15
10 9
3 5
2 5 3 3
5
3
3
2
=
+
=
×
× + ×
+ = d.
35
27
35
77 50
7
10
5
11
7
3
1
5
1
2 =
−
− = − =
3. Operasi Perkalian dan Pembagian
Pada perkalian dan pembagian bilangan riil berlaku rumus berikut:
a x b = ab
a : b =
b
a
a x (- b) = - (ab)
a : (-b) = - (
b
a
)
(-a) x b = - (ab)
(-a) : b = - (
b
a
)
(-a) x (-b) = ab
(-a) : (-b) =
b
a
Contoh 6
a. 2 x 5 = 10 c. 60 : -5 = - 12
b. -4 x -3 = 12 d. -12 : -6 = 2
Sifat-sifat pada operasi perkalian dan pembagian adalah sebagai berikut.
• Komutatif dan Asosiatif berlaku juga pada operasi perkalian, yakni.
o Komutatif, a x b = b x c
o Asosiatif, (a x b) x c = a x (b x c) ; a, b, c ∈ R
• Memiliki unsur identitas/elemen netral, yaitu 1
• Memiliki invers perkalian
6 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 7
a. Invers perkalian dari 2 adalah
2
1
. c. Invers perkalian dari -
5
3
adalah -
3
5
.
b. Invers perkalian dari
3
2
adalah
2
3
. d. Invers perkalian dari 2
3
1
adalah
7
3
.
Untuk perkalian dan pembagian pecahan berlaku rumus berikut:
bd
ac
d
c
x
b
a
=
bc
ad
d
c
:
b
a
=
Contoh 8
Hukum asosiatif perkalian
(5 x 7) x -2 = 5 x (7 x (-2))
35 x -2 = 5 x -14
-70 = -70
Contoh 9
Perkalian dan pembagian pecahan:
a.
10
3
20
6
4 5
3 2
5
2
4
3
= =
×
×
× =
b.
8
5
24
15
2
3
12
5
3
2
:
12
5
= × = =
c.
7
22
35
110
7
10
5
11
7
3
1
5
1
2 × = × = =
Untuk perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan berlaku sifat distributif, yaitu:
A x (B + C) = (A x B) + (A x C
A x (B – C) = (A x B) – (A x C)
Contoh 10
a. 2 x ( 5 + 8) = (2 x 5) + ( 2 x 8) = 10 + 16 = 26
b. 6 x ( 10 – 4)= (6 x 10) – (6 x 4) = 60 – 24 = 36
Catatan
Jika menyelesaikan operasi bilangan riil yang terdiri atas mutlioperasi, maka harus
diselesaikan berdasarkan hierarki operasi bilangan riil, yaitu selesaikan dahulu operasi
dalam kurung, pangkat, kali atau bagi kemudian jumlah atau kurang.
Contoh 11.
a. 2 + 3 x 5 = 2 + 15 = 17 bukan 5 x 5 = 25
b. 10 – 4 : 2 x 5 = 10 – 2 x 5 = 0 bukan 6 : 10 atau 10 – 4 : 10 = 10 : 0,4
4. Mengonversikan Pecahan ke Persen atau Sebaliknya
x100 %
b
a
b
a
= p % =
100
p
BAB I Sistem Bilangan Real 7
Contoh 12
Konversikan ke bentuk persen:
a.
2
1
b.
40
1
c.
8
7
Jawab:
a.
2
1
=
2
1
x 100% = 50 %
b.
40
1
=
40
1
x 100% = 2,5 %
c.
8
7
=
8
7
x 100% = 87,5 %
Contoh 13
Konversikan ke bentuk pecahan:
a. 1,5 % b. 25%
Jawab:
a. 1,5 % =
200
3
1.000
15
100
1,5
= = b. 25 % =
4
1
100
25
=
5. Mengkonversikan Pecahan ke Desimal atau sebaliknya
b
a
dihitung dengan a dibagi b
Contoh 14
Konversikan ke bentuk desimal
a.
8
1
b.
5
2
c.
40
1
Jawab:
a.
8
1
b. dengan cara yang sama
5
2
= 0,4
−
−
−
=
0
40
40
16
20
8
8 10 0,125
c. dengan cara yang sama
40
1
= 0,025
8 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 15
Konversikan ke bentuk pecahan:
a. 0,45 b. 0,0025 c. 0,272727….
Jawab:
a. 0,45 =
20
9
100
45
=
b. 0,0025 =
400
1
10.000
25
=
c. 0,272727… =
11
3
99
27
=
6. Contoh-Contoh Soal Aplikasi
Contoh 16
Dita membeli kalkulator seharga Rp250.000,00, kemudian ia menjualnya dengan
harga Rp300.000,00. Berapa persen keuntungan yang diperoleh Dita?
Jawab:
Untung = Harga jual – Harga beli
= Rp300.000,00 – Rp250.000,00 = Rp50.000,00
Persentase keuntungan = x 100%
harga Beli
untung
= x100%
250.000
50.000 = 20%
Contoh 17
Tentukan nilainya pada soal-soal berikut:
a. 12% dari Rp400.000,00
b.
7
2
dari Rp140.000,00
c. 0,7777… dari Rp81.000.000,00
Jawab:
a. 12% dari Rp400.000,00 =
100
12
x 400.000 =
100
4.800.000
= Rp48.000,00
b.
7
2
dari Rp140.000,00 =
7
2
x 140.000 = Rp40.000,00
c. 0,7777… dari Rp81.000.000,00 =
9
7
x 81.000.000 = Rp63.000.000,00
Contoh 18
Harga barang setelah diskon 25% adalah Rp337.500,00. Tentukan harga barang
sebelum diskon.
Jawab:
Harga barang setelah diskon 25% menjadi 75% sehingga diperoleh skema sebagai
berikut:
BAB I Sistem Bilangan Real 9
Harga barang persentase
Sebelum diskon : x 100%
Sesudah diskon : Rp337.500,00 75%
75
100
337.500
x
=
x = 450.000
75
337.500 100
=
×
Jadi, harga barang sebelum diskon adalah Rp450.000,00
Contoh 19
Pak Abdullah akan menjual berasnya sebanyak 50 karung dengan berat per karung
50 kg. Ia akan menjualnya melalui seorang komisioner bernama Pak Yassin dengan
kesepakatan tarra 2% , rafaksi 10% dan komisi 20%. Jika beras dijual Rp3.000,00
per kg. Tentukan:
a. Hasil komisi yang diterima Pak Yassin.
b. Hasil penjualan yang diterima Pak Abdullah.
Jawab:
a. Berat bruto = 50 x 50 kg = 2.500 kg
Tarra = 2% x 2.500 kg = 50 kg _
Netto = 2.450 kg
Rafaksi = 10% x 2.450 kg = 245 kg _
Berat bersih setelah rafaksi = 2.205 kg
Hasil penjualan sebelum komisi = 2.205 kg x Rp3.000,00 = Rp6.615.000,00
Komisi yang diperoleh Pak Yassin = 20 % x Rp6.615.000,00 = Rp1.323.000,00
Keterangan:
% tarra = % berat pembungkus
Rafaksi = penyusutan
Bruto = berat kotor
Netto = berat bersih
b. Hasil penjualan yang diterima Pak Abdullah = Rp6.615.000,00 – Rp1.323.000,00
= Rp5.292.000,00
Contoh 20
Seorang sales alat-alat elektronik akan mendapatkan bonus mingguan 7,5% jika omset
penjualannya antara Rp5.000.000,00 sampai dengan Rp10.000.000,00; akan
mendapat bonus 10% jika omsetnya antara Rp10.000.000,00 sampai dengan
Rp20.000.000,00; dan akan mendapat bonus 15% jika omsetnya di atas
Rp20.000.000,00. Jika gaji tetapnya tiap bulan Rp1.750.000,00 dan hasil penjualannya
pada bulan Mei 2007 sebagai berikut:
minggu pertama omsetnya Rp7.500.000,00
minggu kedua omsetnya Rp28.000.000,00
minggu ketiga omsetnya Rp Rp3.000.000,00
dan minggu keempat omsetnya Rp17.000.000,00.
Tentukan gaji dan bonus yang akan diterima
karyawan tersebut pada awal Juni 2007.
Gambar 1-3 Situasi toko elektronik
10 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Jawab:
Bonus minggu pertama = 7,5% x Rp7.500.000,00 = Rp 562.500,00
Bonus minggu kedua = 15% x Rp28.000.000,00 = Rp4.200.000,00
Bonus minggu ketiga = 0% x Rp3.000.000,00 = Rp 0
Bonus minggu keempat = 10% x Rp17.000.000,00 = Rp1.700.000,00 +
Bonus total yang diterima sales = Rp6.462.500,00
Jadi, jumlah gaji dan bonusnya pada awal Juni 2007
= Rp6.462.500,00 + Rp1.750.000,00 = Rp8.212.500,00.
Contoh 21
Seorang miliader meninggal dunia dan akan mewariskan hartanya kepada ketiga
anaknya dengan pembagian sebagai berikut. Anak pertama mendapatkan jatah 30%,
anak kedua dengan jatah 0,2222…., anak ketiga dengan jatah
5
1
dan sisanya
disumbangkan kepada beberapa yayasan sosial. Harta yang ditinggalkan sebesar Rp18
miliar. Berapa jatah masing-masing anak dan yang disumbangkan kepada yayasan
sosial tersebut?
Jawab:
Jatah anak pertama = 30% x Rp18 miliar = Rp5,4 miliar
Jatah anak kedua = 0,222… x Rp18 miliar =
9
2
x Rp18 milyar = 4 miliar
Jatah anak ketiga =
5
1
x Rp 18 miliar = Rp3,6 miliar
Harta yang disumbangkan ke yayasan= Rp18 miliar – ( Rp 5,4 + Rp 4 + Rp3,6) miliar
= Rp5 miliar atau
= (1 – 30% – 0,222… –
5
1
) x Rp 18 miliar
= (1 –
10
3
–
9
2
–
5
1
) x Rp18 miliar
= ⎟⎠
⎞
⎜⎝ ⎛
−
−
−
90
90 27 20 18
x Rp18 miliar = Rp5 miliar
1. Ubahlah menjadi bentuk persen dan pecahan.
a. 0,45 d. 0,025
b. 0,28 e. 0,0015
c. 0,025 f. 2,12
2. Ubahlah menjadi bentuk persen dan desimal.
a.
16
3
d.
8
7
g.
4
9
b.
16
5
e.
50
6
h.
8
9
c.
20
3
f. 1
80
3
i. 2
40
17
BAB I Sistem Bilangan Real 11
3. Ubahlah menjadi pecahan:
a. 0,888… f. 0,0272727…
b. 1,363636… g. 1,02222…
c. 0,222….. h. 0,0363636…
d. 0,121212…. i. 0,05555….
e. 0,630630… j. 2,121212…
4. Selesaikan soal-soal berikut.
a. 128 + (-39) f. -138 + (-80) + 50
b. 8 + (-7) g. 57 – ( -24 ) – 21
c. - 6 – 9 h. 8 : 2 x 5 + 3
d. -12 x 5 i. 4 – 3 x 2
e. 28 : -4 j. 5 – 4 + 8 + (-3)
5. Selesaikan soal-soal berikut.
a.
2
1
3
5
1
2 + g.
6
5
4
3
+ –
2
1
b.
4
3
8
5
1 + h.
7
4
6
5
− + 2
2
1
c.
9
2
x
8
5
i.
3
2
6
5
2
1
+ −
d.
2
1
x2
3
1
3 j
7
3
:1
5
1
2
e.
2
1
1
3
1
5 − k.
7
3
2
6
1
3 +
f.
6
1
1
2
1
3 − l.
8
3
3
5
2
4 − +
3
3
2
5
1 −
6. Badru meninggal dunia dan hartanya sebesar Rp120.000.000,00 akan diwariskan
kepada 4 anaknya. Ketiga anaknya masing-masing akan mendapatkan
5
1
dan
4
1
,
3
1
dari harta warisannya. Sisanya diberikan kepada anaknya yang keempat.
Berapakah warisan yang diperoleh mereka masing-masing?
7. Neni akan menjual berasnya sebanyak 75 karung dengan @ 60 kg, melalui seorang
komisioner bernama Bahlul dengan ketentuan sebagai berikut. Tarra 1%, rafaksi
5% dan komisi 10%. Jika harga beras Rp4.000,00 tiap kg, tentukan:
a. komisi yang diterima Bahlul,
b. hasil penjualan yang diterima Neni.
8. Harga kalkulator setelah diskon 7% adalah Rp60.450,00. Tentukan harga kalkulator
sebelum diskon.
9. Usman mengikuti suatu multilevel marketing (MLM) dengan ketentuan sebagai
berikut.
• Akan menerima bonus 3% jika omset < Rp5.000.000,00.
• Bonus 5% jika Rp5.000.000,00 < omset < Rp50.000.000,00.
• Bonus 10% jika omset Rp50.000.000,00 lebih.
• Bonus kerajinan 6% dari omset,
12 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Pada bulan Januari, Februari, dan Maret omset Usman berturut-turut
Rp3.500.000,00; Rp18.000.000,00; dan Rp50.000.000,00. Tentukan total bonus
yang diterima Usman selama tiga bulan tersebut.
10. Seorang pedagang buah membeli mangga 1,5 kwintal dengan harga Rp5.000,00
per kg, 80 kg dengan harga Rp3.500,00 per kg, dan sisanya dijual dengan harga
Rp2.000,00 per kg. Untung atau rugikah pedagang tersebut dan berapa untung
atau ruginya?
11. Pak Pohan membeli 51 buku kwitansi dan mendapatkan diskon 15%. Jika Pak
Pohan harus membayar ke kasir sebesar Rp306.000,00, berapa harga sebuah buku
kwitansi tersebut sebelum diskon?
12. Badu, Tono, dan Deni akan membuka usaha bersama dengan nama “Grosir Alat
Tulis” dengan modal masing-masing: Rp6.000.000,00; Rp9.000.000,00; dan
Rp5.000.000,00. Pada akhir tahun pertama grosirnya mendapatkan Sisa Hasil
Usaha (SHU) sebesar Rp30.000.000,00 dan pembagian SHU berdasarkan
persentase modalnya dengan ketentuan 20% dari SHU digunakan untuk
penambahan modal usaha. Berapa SHU yang diterima Badu, Tono dan Deni pada
akhir tahun pertama?
13. Seorang pedagang berhasil menjual dagangannya Sebesar Rp280.000,00. Jika
pedagang tersebut untung 12 %, tentukan harga beli barang tersebut.
14. Seorang karyawan mendapat bonus sebesar 12,5% dari gajinya karena rajin. Gaji
karyawan semula Rp800.000,00, berapa gaji karyawan setelah mendapat bonus?
15. Badu menabung di bank sebesar Rp2.500.000,00. Jika bank memberikan bunga
6,5% setahun, tentukan uang Badu setelah satu tahun.
7. Perbandingan Senilai
Perbandingan disebut sebagai perbandingan senilai jika dua perbandingan nilainya
sama, yaitu
1
1
b
a
b
a
= atau a x b1 = a1 x b
Contoh 22
Lima liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 10 liter minyak mempunyai massa 8 kg.
Perbandingan antara kuantitas minyak dan massanya dituliskan sebagai:
5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 = 1 : 2
Contoh 23
Perbandingan panjang dan lebar suatu bangunan adalah 3 : 2. Jika lebarnya 8 m,
tentukan panjang dari bangunan tersebut.
BAB I Sistem Bilangan Real 13
Jawab:
2
p 3
=
􀀢
􀃙
2
3
8
p
= 􀃙
2
3 x 8
p = 􀃙 p = 12 m
Jadi, panjang bangunan adalah 12 m.
8. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan harganya
saling berbalikan. Perbandingan berbalik nilai dapat dirumuskan dengan:
1
1
a
b
b
a
= atau a x a1 = b x b1
Contoh 24
Suatu mobil berjalan sejauh (S) 120 km dalam waktu (t) 4 jam pada kecepatan (v)
30 km/jam. Bila kecepatannya 60 km/jam, maka jarak tersebut ditempuh dalam waktu
2 jam. Artinya, jika kecepatan mobil dilipatkan dengan suatu bilangan maka waktu
yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama dibagi sesuai dengan bilangan
kelipatannya.
Contoh 25
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 3 pekerja selama 15 hari. Tentukan banyak
pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 5
hari.
Jawab:
Pekerja Waktu ( perbandingan berbalik nilai )
3 orang 15 hari
x 5 hari
15
5
x
3
= 􀃙
5
3 x 15
x = 􀃙 x = 9
Jadi, pekerja yang perlu ditambahkan adalah (9 – 3) = 6 orang.
Contoh 26
Harga jual mesin ketik elektrik adalah Rp862.500,00. Jika dari harga penjualan
tersebut mendapatkan untung 15%, tentukan harga belinya.
Jawab:
Harga jual setelah untung 15% menjadi 115%, sehingga diperoleh
Harga barang Persentase
Harga jual Rp862.500,00 115%
Harga beli x 100%
100
115
x
862.500
= 􀃙
115
862.500 x 100
x = 􀃙 x = 750.000
Jadi, harga beli adalah Rp750.000,00.
Contoh 27
Harga 100 buah buku besar setelah diskon 17,5% adalah Rp701.250,00. Tentukan
besarnya diskon.
14 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Jawab:
Harga barang setelah diskon 17,5% menjadi 82,5% sehingga diperoleh
Harga barang Persentase
Diskon x 17,5%
Sesudah diskon Rp701.250,00 82,5%
82,5
17,5
701.250
x
= 􀃙
82,5
701.250 x 17,5
x = 􀃙 x = 148.750
Jadi, besarnya diskon adalah Rp148.750,00.
Contoh 28
Karena malas, seorang karyawan dipotong gajinya sebesar 14%. Gaji karyawan
setelah dipotong menjadi Rp1.032.000,00. Berapa gaji mula-mula sebelum dipotong.
Jawab:
Gaji setelah dipotong 14% menjadi 86% sehingga diperoleh
Gaji Persentase
Sebelum dipotong x 100%
Sesudah dipotong Rp1.032.000,00 86%
86
100
1.032.000
x
= 􀃙
86
1.032.000 x 100
x = 􀃙 x =1.200.000
Jadi, gaji sebelum dipotong adalah Rp1.200.000,00.
Contoh 29
Jawab:
Setelah berjalan 6 hari, waktu yang tersisa hanya 12 hari, istirahat selama 2 hari,
sehingga waktu yang tersisa untuk menyelesaikan bangunan sesuai rencana hanya 10
hari. Akibatnya harus menambah pekerja. Untuk menyelesaikannya, lihat penyelesaian
berikut.
Pekerja Waktu
Rencana semula 500 12 hari
Waktu tersisa x 10 hari
10
12
500
x
= 􀃙
10
12 x 500
x = 􀃙 x = 600
Jadi, pekerja yang harus ditambah (600 – 500) pekerja = 100 pekerja.
Seorang pengusaha rotan menerima
order dari pengusaha Saudi Arabia
untuk mengekspor hasil kerajinan
rotannya. Untuk itu, pengusaha tersebut
akan mempekerjakan 500 pengrajin dan
akan diselesaikan dalam waktu 18 hari.
Setelah berjalan 6 hari, pekerjaan
dihentikan selama 2 hari. Supaya
pekerjaan selesai pada waktu yang
telah direncanakan, tentukan jumlah
pekerja yang harus ditambah.
Gambar: 1-4 Barang kerajinan rotan
BAB I Sistem Bilangan Real 15
9. Skala
Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu besaran nyata.
Simbol untuk menyatakan skala adalah “ : “
Misalnya skala pada peta tertulis 1 : 1.000.000 artinya jika pada peta 1 cm, maka jarak
sebenarnya adalah 1.000.000 cm atau 10 km.
Contoh 30
Jarak 2 kota pada peta 7,5 cm. Jika skala pada peta 1 : 150.000, berapakah jarak
sesungguhnya?
Jawab:
Jarak sesungguhnya = 7,5 cm x 150.000
= 1.125.000 cm = 11,25 km
Contoh 31
Panjang sebenarnya suatu pintu 2,2 m, dan dilukis oleh arsitek dengan skala 1: 55.
Tentukan panjang pintu dalam lukisan.
Jawab:
Panjang pintu dalam lukisan = 2,2 m : 55 = 220 cm : 55 = 4 cm
Contoh 32
Jarak Jakarta – Surabaya sesungguhnya adalah 800 km. Jika di dalam peta digambar
sepanjang 20 cm, tentukan skalanya.
Jawab:
Skala = 20 cm : 800 km
= 20 cm : 80.000.000 cm = 1 : 4.000.000
Contoh 33
Jarak Jakarta – Cirebon sesungguhnya adalah 280 km, digambar dalam peta 14 cm.
Berapakah jarak sebenarnya Jakarta – Subang yang di dalam peta berjarak 8 cm?
Jawab:
Jarak dalam peta 2
Jarak dalam peta 1
Jarak sebenarnya 2
Jarak sebenarnya 1
=
8 cm
14 cm
x
280 km
= 􀃙 x 280 km
14
8
x = 􀃙 x = 160 km
Jadi, Jarak Jakarta – Subang adalah 160 km.
B. Rangkuman Operasi pada Bilangan Riil
1. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan riil meliputi sifat
• komutatif,
• asosiatif,
• memiliki unsur identitas penjumlahan( 0),
• memiliki unsur identitas perkalian (1),
• Memiliki invers perkalian dan penjumlahan.
16 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2. Untuk penjumlahan pecahan, berlaku rumus berikut
bd
ad bc
d
c
b
a +
+ =
bd
ad bc
d
c
b
a −
− =
c
a b
c
b
c
a +
+ =
c
a b
c
b
c
a −
− =
3. Perkalian dan pembagian pecahan:
bd
ac
d
c
x
b
a
=
bc
ad
d
c
:
b
a
=
4. Mengonversikan pecahan ke persen atau sebaliknya
x100 %
b
a
b
a
= P % =
100
p
5. Mengonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya
b
a
dihitung dengan a dibagi b
6. Pada perkalian dan pembagian bilangan bulat, rasional dan riil berlaku rumus
berikut:
a x b = ab
a : b =
b
a
a x (- b) = - (ab)
a : (-b) = - (
b
a
)
( -a) x b = - (ab)
(-a) : b = - (
b
a
)
(-a) x (-b) = ab
(-a) : (-b) =
b
a
7. Sifat disributif perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan adalah sebagai
berikut.
A x ( B + C) = (A x B) + (A x C)
A x ( B - C) = (A x B) – (A x C)
8. Perbandingan senilai,
1
1
b
a
b
a
= atau a x b1 = a1 x b
9. Perbandingan berbalik nilai,
1
1
a
b
b
a
= atau a x a1 = b x b1
10. Perhitungan pada skala berlaku rumus berikut
􀂾 Jarak pada gambar = skala x jarak sebenarnya
􀂾 Jarak sebenarnya = jarak pada gambar : skala
BAB I Sistem Bilangan Real 17
1. Seorang tukang bangunan dapat menghabiskan 2 sak semen untuk membangun 10
m2 dinding. Jika dia akan membangun dinding seluas 15 m2, berapa sak semen
yang diperlukan?
2. Suatu gedung direncanakan akan dibangun selama 60 minggu dengan 500
pekerja. Jika rencana pembangunan gedung dipercepat menjadi 50 minggu,
berapa pekerja yang harus ditambah?
3. Panjang as sebuah rotor digambar dengan panjang radiusnya 5 cm. Jika skala
ukuran itu 1 : 20, berapakah ukuran radius sesungguhnya?
4. Panjang sebuah mobil sedan sesungguhnya adalah 3,5 m. Berapakah panjang
sedan pada layar TV jika skalanya 1 : 50?
5. Sebatang perunggu terbuat dari 100 Kg tembaga, 20 Kg timah hitam, dan 30 Kg
timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?
6. Jika jarak Solo-Surabaya sebenarnya 500 km ternyata di gambar dalam peta hanya
25 cm. Tentukan skalanya.
7. Dalam peta, jarak kota A – B = 13 cm dan jarak kota C – D = 18 cm. Jika jarak
sebenarnya kota A – B adalah 390 km, berapakah jarak sebenarnya kota C – D?
8. Ujang jalan-jalan dengan mobil bersama temannya ke Bandung. Kecepatan ratarata
mobil yang dikendarai 50 km/jam, dan memerlukan waktu 4 jam untuk
sampai di Bandung. Badru terlambat 1,5 jam dibanding Ujang dan menyusul
dengan menggunakan mobil lain. Jika Badru menghendaki sampai di Bandung
bersama-sama dengan Ujang, maka berapa kecepatan rata-rata Badru
mengendarai mobilnya?
9. Sederhanakan perbandingan di bawah ini.
a. 5: 125 d. 1
2
1 : 3 g. 2
2
1 : 1
4
1 j. 25 cm : 1 m
b. 12 : 80 e. 2
3
1 : 3
5
2 h. 2,5 m : 50 cm k. 20 % : 0,75
c. 3
2
1 : 10
2
1 f. 2
3
1 : 3
5
2 i. 250 g : 1,25 Kg l.
3
1 :
4
1 :
5
2
10. Perbandingan panjang : lebar : tinggi suatu balok adalah 7 : 3 : 2. Jika lebarnya
12 cm, tentukanlah:
a. panjang dan tinggi balok,
b. jumlah panjang rusuk balok.
11. Karena prestasinya baik, seorang karyawan mendapatkan bonus 23% dan ia
menerima gaji dengan bonusnya sebesar Rp1.722.000,00. Tentukan gaji
karyawan tersebut sebelum ditambah bonus.
18 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
12. Seorang pedagang mendapatkan kerugian 34%. Jika barangnya dijual dengan
harga Rp165.000,00, hitung kerugiannya.
13. Seorang tukang akan membuat pintu dengan bentuk persegi panjang. Pada
gambar panjangnya 4 cm dan lebarnya 2 cm. Jika panjang pintu sebenarnya
2,5 m, hitunglah lebar daun pintu sebenarnya.
14. Seorang pemborong bangunan harus mengeluarkan uang Rp30.000,00 per orang
setiap harinya untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Jika 5 orang dapat
menyelesaikan pekerjaan itu selama 10 hari, maka untuk menyelesaikan
pekerjaan selama 5 hari, hitunglah:
a. jumlah pekerja yang diperlukan pemborong itu, dan
b. jumlah uang yang dikeluarkannya.
15. Sebuah lukisan berukuran 20 cm x 25 cm. Jika skalanya 1 : 200, berapakah
ukuran luas lukisan itu sesungguhnya?
16. Jumlah siswa SMK Kelompok Bisnis dan Manajemen sebanyak 600 orang, terdiri
atas 40% memilih jurusan Akuntansi, 25% memilih jurusan Administrasi
Perkantoran, dan sisanya memilih jurusan Penjualan. Berapakah jumlah siswa
masing-masing jurusan tersebut?
17. Jumlah uang Neni, Liana dan Devi besarnya Rp390.000,00. Jika perbandingan
uang Neni : Lliana : Devi adalah 5 : 2 : 6, tentukan uang mereka masing-masing.
18. Denah rumah dibuat dengan skala 1: 100.
a. Jika luas pada denah 1 cm2, berapakah luas sebenarnya?
b. Jika luas pada denah 18 cm2, berapakah luas sebenarnya?
19. Suatu gedung direncanakan akan dibangun oleh 200 pekerja selama 75 minggu.
Setelah berjalan 15 minggu, pembangunan dihentikan sementara selama
20 minggu. Jika pembangunan ingin selesai sesuai rencana semula, berapakah
pekerja yang harus ditambahkan dalam pembangunan tersebut?
20. Skala denah suatu gedung 1: 400. Luas tanah yang akan dibangun berukuran
80 cm x 50 cm. Berapa:
a. ukuran tanah sebenarnya?
b. luas tanah sebenarnya?
21. Harga barang setelah diskon 17,5% adalah Rp123.750,00.Tentukanlah harga
barang tersebut sebelum diskon.
22. Karena kurang laku, toko elektronik mengobral mesin ketik elektriknya sehingga
hanya memperoleh hasil penjualan Rp1.424.000,00. Setelah dihitung, toko
tersebut rugi 11%. Tentukan harga belinya.
BAB I Sistem Bilangan Real 19
C. Bilangan Berpangkat
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 mengalikan dua bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama,
􀂾 membagi dua bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama,
􀂾 memangkatkan bilangan berpangkat,
􀂾 memangkatkan dari perkalian dua bilangan,
􀂾 memangkatkan dari pembagian dua bilangan,
􀂾 mengubah pangkat negatif ke pangkat positif, dan
􀂾 mengubah pangkat pecahan ke bentuk akar pangkat.
1. Pengertian bilangan berpangkat
Bilangan berpangkat dirumuskan sebagai berikut
an =
􀀉􀀌􀀌􀀌􀀌􀀊􀀌􀀌􀀌􀀌􀀋
n
a x a x a x a x . . . . x a
Contoh 34
a. 23 = 2 x 2 x 2 = 8
b. 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
c. (
3
1
)5 =
3
1
x
3
1
x
3
1
x
3
1
x
3
1
=
243
1
d. 103 = 10 x 10 x 10 = 1000
2. Aturan Dasar Pengoperasian Bilangan Berpangkat
a. Perkalian Bilangan Berpangkat yang Bilangan Pokoknya Sama
ap x aq = a p + q
Contoh 35
a. 23 x 25 = 2 3 + 5 = 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
b. (
3
1
)2 x (
3
1
)3 = (
3
1
) 2 + 3 =(
3
1
)5 =
243
1
c. 35 x 3 = 3 5 + 1 = 36
d. 10 x 106 = 10 1 + 6 = 107
e. 53 x 5-1 = 5 3 +(-1) = 52
b. Pembagian Bilangan Berpangkat yang Bilangan Pokoknya Sama
ap : aq = a p – q
Contoh 36
a. 38 : 35 = 3 8 - 5 = 33 = 27
b. )4
5
(1 : )2
5
(1 = )4 2
5
(1 − )2
5
(1 =
25
1
c. 35 : 3 = 3 5 - 1 = 34
20 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
d. 10 : 106 = 10 1 - 6 = 10-5
e. 53 : 5-1 = 5 3 -(-1) = 54
c. Pemangkatan Bilangan Berpangkat
( ap ) q = a p x q
Contoh 37
a. (2 2)5 = 2 2x5 = 210 = 1024 d. 5
3
32 = (2 ) 2 5 23 8
3
5x
5
3
5 = = =
b. ( 4 4
1
5 ) =
x4
4
1
5 = 5 e. 10.000.000 (10 ) 7 102 100
2
7 7
2
= = =
c. 4
3
81 = (3 ) 3 4 33 27
3
4x
4
3
4 = = =
d. Pemangkatan dari Perkalian Dua Bilangan
(a x b) p = a p x b p
Contoh 38
a. (3 x 5)2 = 32 x 52 = 9 x 25 = 225
b. 24 x 54 = (2 x 5)4 = 104 = 10.000
c. 255 x 45 = (25 x 4)5 = 100 5
e. Pemangkatan dari Pembagian Dua Bilangan
(a : b)p = a p : b p
Contoh 39
a. (12 : 4)5 = 12 5 : 4 5 = 248832 : 1024 = 243
b. 1004 : 504 = (100 : 50)4 = 2 4 = 16
f. Bilangan Berpangkat Negatif
p
p
a
a− = 1
Contoh 40
a.
8
1
2
2 13
−3 = =
b.
5
5−1 = 1
BAB I Sistem Bilangan Real 21
c. 0,008 = 5 3
125
1
1.000
8 − = =
d. 10 : 106 = 10 1 – 6 = 10–5 = 0,00001
100.000
1
=
e. (
27
1
) (3 ) 3 3
81
1 4 3
3
4x
4
3
4 4
3
= = = − = − −
g. Pemangkatan Bilangan Pecahan
q q p
p
a = a
Contoh 41
a. 3 3 2 3
2
5 = 5 = 25 d. 102 10
1
=
b. 5 5 4 52 25
8
4 8 = = = e. a a2
1
=
c. 82 2 81 8
1
= =
Contoh 42
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan di bawah ini.
a. 43x = 32 b. 92x –1 = 274 – 3x
Jawab:
a. Nyatakan ruas kiri dan kanan dalam bentuk eksponen/pangkat sedemikian sehingga
bilangan pokok kedua ruas tersebut sama. Jika bilangan pokok kedua ruas tersebut
sudah sama, maka disamakan kedua eksponennya.
43x = 32
(22)3x = 25
26x = 25 (Bilangan pokok kedua ruas sudah sama)
6x = 5
x =
6 5
b. 9 2x –1 = 27 4 – 3x
(32)2x – 1 = (33) 4 – 3x
34x – 2 = 312 – 9x (Bilangan pokok kedua ruas sudah sama)
4x – 2 = 12 – 9x
4x + 9x = 12 + 2
13x = 14
x =
13
14
D. Rangkuman Bilangan Berpangkat
1. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, ap x aq = a p + q
22 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2. Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, ap : aq = a p – q
3. Pemangkatan bilangan berpangkat, ( ap) q = a p x q
4. Pemangkatan dari perkalian dua bilangan, (a x b) p = a p x b p
5. Pemangkatan dari pembagian dua bilangan, (a : b)p = a p : b p
6. Bilangan berpangkat negatif, p
p
a
a− = 1
7. Pemangkatan bilangan pecahan, q q p
p
a = a
Ubahlah soal-soal di bawah ini menjadi bentuk pangkat yang paling sederhana.
1. 73 x 75 x 7 –2 11. 0,25 2
1
−
x 5–1
2. )2
5
1
( x (
5
1 )–4 x (
5
1) 12. 3
2
216 x (
49
1 ) -4 x 4
3
81
−
3. 35 x 3 : 3 2 13. 104 : 106 x 10 : 1010
4. 10 x 106 x 10 – 4 : 107 14. ( 4
3
)
10.000
1
5. 53 x 5– 1 : 55 x 52 15. 3
2
3
2
3
2
5 x 25 x 8
6. 38 : 3– 2 16. 4 813
7. (
8
1 )4 : (
4
1 )2 17. 5 323 x 3 1252
8. (
3
1 )5 : 9 18. 813 x 4 16
9. 10 : 100 –2 19. 4
3
3
2
343 x 81
10. 53x (
25
1 )– 1 : 5 2 20. 3
2
(1.000 x 343)
BAB I Sistem Bilangan Real 23
Ubahlah soal-soal di bawah ini menjadi bentuk pangkat yang paling sederhana.
21. (24)5 x 23 31. 5
4
5 5
3
32 : (2 )
−
22. ( 2
1
5 ) 6 : 5 4 32. 52 x ( 125
1
)–1 : 25 2
23. 4
1
81 x 4
3
(92 ) 33. ( 9
1
) – 5 : 3
24. 5
3
5 5
4
32 : (2 ) 34. 33 x 3-1 : 3 5 x 3 2
25. 3
2
5 3
3
100.000 x(10 )
−
− 35. 3
1
3
1
500 x2 x ( 125 x 3 )0
26. 3
1
(27x125) 36. ( 3
1
5 ) 9 : 5 -3
27. 2 – 3 x 5
4
(32x243) 37. 1213 x4 10.000
28. 3
2
3
2
125 x8 x ( 25 x 4 )0 38. 4
3
3
2
512 x 81
−
x ( 256
1
) - 4
29. 3
2
3
2
54 : 2 39. 3
1
0,125
−
x 5– 2
30. 3 – 4 : 3 –3 40. 3
2
5 3
3
100.000 x(0,1 )
− −
41. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan eksponen berikut ini.
a. 22x = 32 c. 102x – 1 =
1000
1
b. 16x =
2
1 d. 52x – 1 = 125
E. Bilangan Irasional
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 membedakan bentuk akar dan bukan bentuk akar,
􀂾 mengoperasikan bentuk akar,
􀂾 menyederhanakan bentuk akar, dan
􀂾 merasionalkan penyebut dari bentuk akar.
1. Definisi Bentuk Akar
Seperti yang sudah dibahas pada subkompetensi sebelumnya, bahwa a2 a
1
= .
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan bilangan
iirasional. Contoh: 3 , 5 , 8 , 15 , 50 , dan lain-lain.
Contoh bukan bentuk akar, 1 sebab 1 = 1 ( bukan bilangan irasional)
4 sebab 4 = 2
64 sebab 64 = 8 dan lain-lain.
24 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar
tersebut menjadi dua bilangan di mana bilangan yang satu dapat diakarkan,
sedangkan bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.
Contoh 43
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a. 32 b. 18 c. 24 d. 80 e. 147
Jawab:
a. 32 = 16 ⋅ 2 boleh 32 = 8 ⋅ 4 tetapi menyederhanakannya dua kali
= 16 ⋅ 2 = 4 2
b. 18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
c. 24 = 4 ⋅ 6 = 2 6
d. 80 = 16 ⋅5 = 4 5
e. 147 = 49 ⋅ 3 = 7 3
3. Mengoperasikan Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.
Contoh 44
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a. 3 + 2 3 d. 5 + 2 3 – 4 5 +5 3
b. 3 6 + 6 + 4 6 – 5 6 e. 32 + 8 + 50 – 98
c. 2 + 3 + 7 f. 20 + 28 – 125 + 63 – 80
Jawab:
a. 3 + 2 3 = (1 + 2 ) 3 = 3 3
b. 3 6 + 6 + 4 6 – 5 6 = ( 3 + 1 + 4 – 5) 6 = 3 6
c. 2 + 3 + 7 tidak dapat disederhanakan karena bentuk akarnya berlainan
d. 5 + 2 3 – 4 5 + 5 3 = (1 – 4) 5 + (2 + 5) 3 = -3 5 + 7 3
e. 32 + 8 + 50 – 98 = 16 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + 25 ⋅ 2 – 49 ⋅ 2
= 4 2 + 2 2 + 5 2 – 7 2 = 4 2
f. 20 + 28 – 125 + 63 – 80 = 2 5 + 2 7 – 5 5 + 3 7 – 4 5
= -7 5 + 5 7
BAB I Sistem Bilangan Real 25
b. Perkalian Bilangan Bulat dengan Bentuk Akar
a x b c =ab c
Contoh 45
Selesaikan dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a. 4x3 2 d. 3x(6 2 + 18 )
b. 5x 50 e. 6x( 27 – 108 )
c. 10x4 20
Jawab:
a. 4x3 2 = 12 2
b. 5x 50 = 5 50 = 5 25 ⋅ 2 = 5x5 2 =25 2
c. 10x4 20 = 40 20 =40x2 5 =80 5
d. 3x (6 2 + 18 )= 3 x 6 2 +3 18 = 18 2 +3x3 2 =18 2 + 9 2 = 27 2
e. 6x( 27 – 108 )= 6 27 – 6 108 =6x3 3 – 6x6 3 =18 3 – 36 3 = -18 3
c. Perkalian Bentuk Akar dengan Bentuk Akar
a x b = a x b a c x b d = a x b c x d a x a = a
Contoh 46
Kalikan dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
a. 3 x 2 e. 2 6 x ( 7 2 + 4 5 )
b. 5 6 x 3 f. ( 2 + 5 )( 6 + 4)
c. 2 5 x 3 6 g. (3 2 – 2 7 )(2 2 + 6 )
d. 20 x 27 h. ( 12 + 5 )( 12 – 5 )
Jawab:
a. 3 x 2 = 3× 2 = 6
b. 5 6 x 3 = 5 6 × 3 = 5 18 = 5x3 2 = 15 2
c. 2 5 x 3 6 = (2 x 3) 5.6 = 6 30
d. 20 x 27 = 2 5 x 3 3 = 6 15
e. 2 6 x ( 7 2 + 4 5 ) = (2 6 x 7 2 ) +(2 6 x 4 5 ) = 14 12 + 8 30
= 14 ×2 3 + 8 30 = 28 3 + 8 30
f. ( 2 + 5 )( 6 + 4) = 2 x 6 + 4 2 + 5 x 6 +4 5
= 12 + 4 2 + 30 +4 5 = 2 3 + 4 2 + 30 +4 5
g. (3 2 – 2 7 )(2 2 + 6 ) = 6 4 + 3 12 – 4 14 – 2 42
= 12 + 6 3 – 4 14 – 2 42
26 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
h. ( 12 + 5 )( 12– 5 ) = 12 – 60 + 60 – 5 = 12 – 5 = 7
Dari contoh terakhir dapat disimpulkan sebagai berikut.
( a + b ) ( a – b ) = a – b
Contoh 47
a. ( 5 + 2 ) ( 5 – 2 ) = 5 – 2 = 3
b. ( 15 – 12 ) ( 15 + 12 ) = 15 – 12 = 3
c. (3 2 + 2 3 ) (3 2 – 2 3 ) = ( 18 + 12 ) ( 18 – 12 )= 18 – 12 = 6
d. Pembagian Bentuk Akar
Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan istilah “merasionalkan
penyebut“ bentuk pecahan.
Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, lihatlah rumus di bawah ini.
b
a b
b
b
x
b
a
b
a
= =
a b
k(a b)
a b
a b
x
a b
k
a b
k
2 −
−
=
−
−
+
=
+
a b
k( a b)
a b
a b
x
a b
k
a b
k
−
−
=
−
−
+
=
+
Contoh 48
Rasionalkan penyebut dari pecahan di bawah ini.
a.
2
8
d.
5 17
8
−
b.
2 5
10
e.
3 2
3 2
+
−
c.
7 2
15
+
f.
10
2 5
Jawab:
a. 4 2
2
8 2
2
2
x
2
8
2
8
= = =
b. 5
2 x 5
10 5
5
x 5
2 5
10
2 5
10 = = =
c. 3 7 3 2
7 2
15( 7 2)
7 2
7 2
x
7 2
15
7 2
15
= −
−
−
=
−
−
+
=
+
BAB I Sistem Bilangan Real 27
d. 5 17
5 17
8(5 17)
5 17
5 17
x
5 17
8
5 17
8
2 = +
−
+
=
+
+
−
=
−
e. 5 2 6
1
3 2 6 2
3 2
( 3 2)
3 2
3 2
x
3 2
3 2
3 2
3 2 2
= −
− +
=
−
−
=
−
−
+
−
=
+
−
f. 2
10
2.5 2
10
2 50
10
10
x
10
2 5
10
2 5
= = = =
F. Rangkuman Bilangan Irasional
1. Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan bilangan
irasional.
2. Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar
tersebut menjadi dua bilangan dimana bilangan yang satu dapat diakarkan,
sedangkan bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.
3. Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis
4. Perkalian bilangan bulat dengan bentuk akar: a x b c =ab c
5. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar:
a x b = a x b a c x b d = a x b c x d a x a = a
6. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, lihatlah rumus di bawah ini.
a.
b
a b
b
b
x
b
a
b
a
= =
b.
a b
k(a b)
a b
a b
x
a b
k
a b
k
2 −
−
=
−
−
+
=
+
c.
a b
k( a b)
a b
a b
x
a b
k
a b
k
−
−
=
−
−
+
=
+
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.
1. 200 + 18 + 800 – 72 7. 600 + 24 + 216 – 54
2. 12 + 27 + 75 8. 3 44 + 110 – 99
3. 125 + 28 − 80 + 700 9. 4 150 – 3 54 – 294 + 2 486
4. 4 x (3 5 + 50 ) 10. 5 5 x (3 2 + 200 )
5. 3 6 x ( 18 – 54) 11. 3 24 x( 6 – 54 )
6. 2 3 x ( 2 40 + 12 ) 12. 4 3 x ( 2 20 + 5 12 )
28 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
13. ( 2 + 3 )( 2 + 3 ) 22. ( 5 + 6 )( 5 + 6 )
14. (3 5 – 2 3 )(2 4 + 6 ) 23. (2 5 – 3 3 )(2 5 + 3 3 )
15. ( 6 + 5 )( 6 – 5 ) 24. (6 + 5 )( 6 – 5 )
16. (􀂥28 – 12 )(2 7 + 2 3 ) 25. (2 27 – 15 ) (6 3 + 15 )
17. 2 6 x 6 + 􀂥9 26. 2 5 x 5 + 7 (2 7 – 3 )
18. 5 x 30 27. 50 x 20
19. 4 7 x 3 28 28. (4 7 )2 + (2 3 )2
20. 200 x 5 2 29. 300 x 27
21. 2 5 x ( 7 2 – 4 20 ) 30. 2 11 x ( 6 11 - 2 )
Rasionalkan penyebut pada soal berikut.
31.
5
5
33.
13 8
10
+
35.
5 6
5 6
+
− 37.
5 2
2 8
39.
4 2 3
6
−
32.
4 10
100
34.
4 14
4
−
36.
10
20
38.
13 7
24
+
40.
8 5
8 5
+
−
G. Logaritma
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini kalian diharapkan dapat
􀂾 menjelaskan konsep logaritma,
􀂾 menjelaskan sifat-sifat logaritma,
􀂾 menggunakan tabel logaritma, dan
􀂾 melakukan operasi logaritma dengan sifat-sifat logaritma.
1. Logaritma Biasa (Briggs)
Secara umum ditulis, ac = b ⇔ alog b = c
• a disebut bilangan pokok logaritma atau Basis
• b disebut yang dilogaritmakan
• c disebut hasil logaritma
• a > 0, a ≠ 1, b > 0
• bilangan pokok 10 boleh tidak ditulis.
2. Sifat-Sifat Logaritma
a. p log (a x b) = p log a + p log b
b. p log
b
a
= p log a – p log b
c. p log a n = n. p log a
d. a log b =
loga
logb
p
p
e. log a
logb
1 b
a =
BAB I Sistem Bilangan Real 29
f.
n
m
an log am =
g. . log a
n
m
bn log am b =
dengan a > 0, b > 0 ,p ≠ 1 dan p > 0
plog 1 = 0
plog p = 1
Contoh 49
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari soal-soal logaritma berikut.
a. 3 log 9 b. 2 log 32 c. 4 log 8 d. 25 log 125
1
e. 216
1
6 log
Jawab:
a. 3 log 9= 3 log 32 = 2 x 3Log 3 = 2 x1 = 2
b. 2 log 32= 2 log 25 = 5 x 2 log 2 = 5
c. 4 log 8=
log4
log8
= 2
3
log2
log2
=
2
3
2 log2
3 log2
=
×
×
atau dengan rumus ( f ), 4 log 8 =
2
3
22 log 23 =
d. 25 log 125
1
=
25
1
log
log125
= 2
3
log5
log5
− =
2
3
2 log5
3 log5
= −
− ×
×
atau dengan rumus ( f ), 25 log 125
1
=
2
3
2
3
5 2 log 53 = −
−
= −
e.
216
1
6 log = 6
0,5
3
60,5 log 6 3 = −
−
− =
Contoh 50
Tentukan nilai dari soal-soal logaritma berikut.
a. 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 b. log 8 + log 400 – log 32
Jawab:
a. 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = 3 log log81 log3 4
2
9 x 18 3 3 4 = = =
b. log 8 + log 400 – log 32 = log log 100 2
32
8 x 400
= =
Contoh 51
Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan logaritma berikut ini.
a. log 6 d. log 15
b. log 9 e. log 72
c. log 0,25
30 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Jawab:
a. log 6 = log (2 x 3)
= log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
b. log 9 = log 32
= 2 x log 3 = 2 x 0,4771 = 0,9542
c. log 4
1
= log 2– 2
= -2 x log 2 = -2 x 0,3010 = - 0,6020
d. log 15 = log 3 + log 5
= log 3 + log
2
10
= log 3 + log 10 – log 2 = 0,4771 + 1 – 0,3010 = 1,1761
e. log 72 = log (23 x 32)
= 3 x log 2 + 2 x log 3 = 3 x 0,3010 + 2 x 0,4771 = 1,8573
Contoh 52
Tentukan nilai logaritma berikut.
a. 3 log 6 x 6 log 81
b. 4 log 9 x 3 log 125 x 25 log 16
c. 2 log 9
1
x 3 log 7
1
x 49 log 32
Jawab:
a. 3log 6 x 6log 81=
log 3
log 6
x
log 6
log 81
= 4
log 6
4.log 3
x
log 3
log 6
=
b. 4 log 9 x 3 log 125 x 25 log 16=
log 4
log 9
x
log 3
log 125
x
log 25
log 16
= 6
2 1 2
2 3 4
2 log 5
4 log 2
log 3
3 log 5
2 log 2
2 log 3
=
× ×
× ×
=
×
×
×
×
×
×
×
c. 2 log 9
1
x 3 log 7
1
x 49 log 32 =
2
1
log
log 9
x
3
1
log
log 7
x
log 49
log 32
= 5
1 1 2
2 5
2 log 7
5 log 2
1 log 3
log 7
1 log 2
2 log 3
=
− × − ×
×
=
×
×
×
− ×
×
− ×
×
3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Tabel/Daftar Logaritma
Logaritma yang mempunyai bilangan pokok 10 dinamakan logaritma biasa. Salah satu
cara untuk menentukan nilai logaritma biasa suatu bilangan adalah dengan
menggunakan bantuan daftar logaritma. Pada daftar logaritma, hanya ditulis mantise
(bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma) saja sehingga bilangan indeks
atau karakteristik (bilangan bulat dari hasil pengambilan logaritma) harus ditentukan
sendiri terlebih dahulu.
BAB I Sistem Bilangan Real 31
a. Mencari Hasil Logaritma dari Bilangan antara 1 sampai dengan 10
Karena log 1 = 0 dan log 10 = 1 maka logaritma berbasis 10 dari bilangan-bilangan
antara 1 dan 10 akan terletak antara 0 dan 1. Jadi, Indeks atau karakteristiknya 0.
Misalkan log 2,345 memiliki indeks/karakteristiknya 0. Bilangan di belakang koma,
yaitu mantise dapat diperoleh dari daftar logaritma dimana pada baris 234 kolom 5
diperoleh bilangan 3701. (Perhatikan skema tabel di bawah ini).
Jadi, log 2,345 = 0,3701
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
000
001
...
234 3701
......
1000
b. Mencari Hasil Logaritma dari Bilangan Lebih dari 10
Log 10 = 1 dan log 100 = 2, maka logaritma berbasis 10 dari bilangan-bilangan antara
10 sampai 100 akan terletak antara 1 dan 2. Jadi, indeks atau karakteristiknya 1.
Log 100 = 2 dan log 1000 = 3, maka logaritma berbasis 10 dari bilangan-bilangan
antara 100 sampai 1000 akan terletak antara 2 dan 3. Jadi, indeks atau
karakteristiknya 2 dan seterusnya.
Contoh 53
Tentukan nilai dari logaritma berikut.
a. log 19,69 b. Log 123,4 c. log 6669
Jawab:
a. Indeks dari 19,69 adalah 1, mantisenya diperoleh dari daftar pada baris 196 kolom
9 dan terdapat bilangan 2942. Jadi, log 19,69 = 1,2942.
b. Indeks dari 123,4 adalah 2, mantisenya diperoleh dari daftar pada baris 123 kolom
4 dan terdapat bilangan 0913. Jadi, log 123,4 = 2,0913.
c. Indeks dari 6669 adalah 3, mantisenya diperoleh dari daftar pada baris 666 kolom 9
dan terdapat bilangan 8241. Jadi, log 6669 = 3,8241.
c. Mencari Hasil Logaritma dari Bilangan yang Kurang dari 1
Karakteristik dari 0,1 sampai dengan 1 adalah -1.
Karakteristik dari 0,01 sampai dengan 0,1 adalah -2.
Karakteristik dari 0,001 sampai dengan 0,01 adalah -3, dan seterusnya.
32 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 54
Tentukan nilai logaritma di bawah ini dengan tabel.
a. log 0,9272 b. log 0,0039
Jawab:
a. Indeks 0,9272 adalah -1, mantisenya diperoleh dari daftar pada baris 927 kolom 2
dan terdapat bilangan 9672. Jadi, log 0,927 = 0,9672 – 1 = -0,0328.
b. Indeks 0,0039 adalah -3 mantisenya diperoleh dari daftar pada baris 390 kolom 0
dan diperoleh bilangan 5911. Jadi log 0,0039 = 0,5911 – 3 = -2,4089.
4. Antilogaritma
Anti logaritma merupakan proses kebalikan menghitung nilai logaritma. Anti logaritma
dapat ditentukan dengan daftar Antilogaritma.
Contoh 55
Tentukan nilai x dengan menggunakan tabel antilogaritma di bawah ini.
a. log x = 1,3783 b. log x = 0,45 c. log x = 0,1588 – 3
Jawab:
a. Bilangan 1 pada 1,3783 adalah indeksnya, sedangkan 378 adalah mantisenya.
Angka-angka yang termuat pada daftar antilogaritma pada baris .37 (dua angka
pertama) dan kolom 8 (angka ketiga) pada tabel berikut.
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
.00
..
.37 239
Jadi, jika log x = 1,3783 diperoleh x = 23,9.
b. Bilangan 0 pada 0,45 adalah indeksnya sehingga nilai x adalah angka satuan,
sedangkan 45 adalah mantisenya. Mantise 45 pada tabel antilogaritma baris 23
kolom 0 didapat bilangan 282, jadi nilai x = 2,82.
c. Bilangan -3 pada 0,1588 – 3 adalah indeksnya sehingga nilai x adalah angka
seperseribuan (ada 2 angka 0 di belakang koma), sedangkan 1588 atau 159 adalah
mantisenya. Mantise 159 pada tabel antilogaritma baris 15 kolom 9 didapat
bilangan 144, jadi nilai x = 0,00144.
5. Operasi pada Logaritma
a. Operasi Perkalian
log (a x b) = log a + log b
Contoh 56
Hitunglah 6,28 x 2,536
BAB I Sistem Bilangan Real 33
Jawab:
Jika p = 6,28 x 2,536
log p = log (6,28 x 2,536)
og p = log 6,28 + log 2,536
= 1,2021
Jadi, p = Antilog 1,2021 = 15,926
b. Operasi Pembagian
log
b
a
= log a – log b
Contoh 57
Hitunglah 325,6 : 48,5
Jawab:
Jika p = 325,6 : 48,5
log p = log (325,6 : 48,5)
log p = log 325,6 – log 48,5
= 2,5127 – 1,6857
= 0,8270
Jadi, p =antilog 0,8270 = 6,7
c. Operasi Akar dan Pangkat
• log an = n× log a
• log n a =
n
1
× log a
Contoh 58
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut.
a. 58 b.
18,6
47,32
Jawab:
a. Jika p = 58
log p = log 58
= 8 Log 5
= 8 x 0,6990 = 5,592
Jadi, p = antilog 5,592 = 390800
b. Jika p =
18,6
47,32
, maka log p = log
18,6
47,32
=
2
1
(Log 47,32 – Log 18,6)
=
2
1
(1,6750 – 1,1643)
=2
1
(0,5107) = 0,2553
Jadi, p = anti log 0,2553 = 1,8001
34 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 59
Dengan menggunakan kalkulator , tentukan nilai dari logaritma berikut.
a. 5log 9 b. 7log 12
Jawab:
a. 5log 9 =
log5
log9
=
0,6990
0,9542
= 1,3651 b. 7 log 12 =
log7
log12
=
0,8451
1,0792
= 1,2770
H. Rangkuman Logaritma
1. Logaritma secara umum ditulis ac = b ⇔ alog b = c
2. Sifat-sifat logaritma
a. p log (a x b) = p log a + p log b
b. p log
b
a
= p log a – p log b
c. p log a n = n x p log a
d. a log b =
loga
logb
p
p
e. log a
logb
1 b
a =
f.
n
m
an log am = atau log a
n
m
bn log am b = ×
1. Tentukan nilai logaritma berikut.
a. 2log 8 e. 36log 216
b. 4log 64 f. 5 log 625
1
c. 5log 125 g. log 0,001
d. 3log 27 – 3log 81 h. 2log 8 + 2log 8
2. Selesaikanlah soal berikut.
a. 3log 5 x 5log 9 d. 25log 27 x 9log 49 x 7 log 625
1
b. 2log 20 + 2log 8 – 2log 5 e. 4log 5 x 36log 8 x 5 log 6
1
c. 5log 2 x 2log 125 f. 0,125log 32
3. Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan logaritma berikut.
a. log 24 c. log 1,5 e. log 90
b. log 18 d. log 30 f. log 45
4. Jika diketahui log 2 = p dan log 3 = q, tentukan dalam p dan q.
a. log 54 c. log 72 e. log
9
24
b. log 60 d. log 80 f. log 15
BAB I Sistem Bilangan Real 35
5. Dengan menggunakan tabel, tentukan nilai dari logaritma berikut.
a. log 2,36 e. log 0,00345
b. log 34,5 f. log 0,1245
c. log 56000 g. log 8,796
d. log 321,8 h. log 0,0567
6. Dengan tabel logaritma, tentukan nilai x dari logaritma berikut.
a. log x = 0,6590 d. log x = 0,9605 – 1 g. log x = - 0,8928
b. log x = 1, 8597 e. log x = 0,6590 – 2 h. log x = 3, 5105
c. log x = 2,9159 f. log x = - 1,1238
7. Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator.
a. log 2 + log 200 – log 6 + log 5 – log 3 + log 18 – log 2
b. log 5 + log 4 – log 2 + log 10
c. 1/8log 16
d. 125log
5
1
e. 216 log 36
1
f. 8log 25 . 5 log 16
1
g. 3 log 216
1
x 49log 27 x 6 log 7
1
h. 2log 25 x 6 log 64
1
x 5log 36
8. Dengan menggunakan kalkulator , tentukan nilainya dari soal di bawah ini.
a. 8log 60 f. 13log 75
b. 5 log 625
1
g. 4 log 32
1
c. 8log
64
1
h. log 8 x 9 log 27
1
2
1
d. 􀂥2 log
64
1
i. 3log
9
1
x 4 log 256
1
e. 625log
5
1
j. 6 log 216
1
9. Selesaikanlah soal di bawah ini dengan tabel logaritma.
a.
45,6
23,5 x 543,7
b.
465,1
234,1 x 309,4
10. Jika log 7 = p dan log 5 = q, tentukanlah nilai log di bawah ini dalam bentuk p
dan q.
a. log 175 b. log 245 c. log 700 d. log 50 e. log 3,5
36 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
A. Soal Pilihan Ganda
Pilihlah salah satu jawaban a, b, c, d atau e yang benar.
1. Harga beli satu lusin buku kwitansi adalah Rp50.000,00 dan dijual dengan harga
Rp5.000,00 tiap buah. Persentase keuntungannya adalah . . . .
a. 10% c. 15 % e. 20 %
b. 12 % d. 16,67 %
2. Sebuah koperasi sekolah membeli 5 lusin buku seharga Rp150.000,00. Jika harga
jual sebuah buku Rp2.800,00 maka persentase keuntungan yang diperoleh
koperasi tersebut adalah . . . .
a. 4 % c. 10 % e. 15 %
b. 6 % d. 12 %
3. Toko A memberikan potongan harga 20% pada setiap penjualan barang, untuk
pembelian sepasang sepatu, Marliana membayar kepada kasir sebesar
Rp40.000,00. Harga sepatu tersebut sebelum mendapat potongan adalah. . . .
a. Rp8.000,00 c. Rp48.000,00 e. Rp72.000,00
b. Rp32.000,00 d. Rp50.000,00
4. Toko buku sedang memberikan potongan harga 10% pada setiap penjualan barang,
untuk pembelian buku Matematika, Fulan membayar kepada kasir sebesar
Rp31.500,00. Harga buku tersebut sebelum mendapat potongan adalah . . . .
a. Rp3.500,00 c. Rp35.000,00 e. Rp38.000,00
b. Rp32.000,00 d. Rp36.100,00
5. Harga sebuah TV adalah Rp586.000,00. Jika terhadap pembelian TV dikenai pajak
penjualan sebesar 11%, maka besar uang yang harus dibayar dari pembelian TV
tersebut adalah . . . .
a. Rp592.446,00 c. Rp651.460,00 e. Rp741.290,00
b. Rp650.460,00 d. Rp719.920,00
6. Harga dua buku dan dua pensil Rp8.800,00. Jika harga sebuah buku Rp600,00 lebih
murah dari harga pensil, maka harga sebuah buku adalah . . . .
a. Rp1.400,00 c. Rp1.900,00 e. Rp2.500,00
b. Rp1.600,00 d. Rp2.000,00
7. Sebuah koperasi menjual baju seharga Rp864.000,00 setiap lusinnya. Jika hasil
penjualan ternyata untung 20 % dari harga belinya , maka harga beli sebuah baju
adalah . . . .
a. Rp14.400,00 c. Rp74.400,00 e. Rp1.080.000,00
b. Rp60.000,00 d. Rp720.000,00
8. Seorang pedagang buah membeli 5 kotak jeruk yang tiap kotaknya berisi 15 kg
seharga Rp600.000,00 Jika kemudian jeruk tersebut dijual seharga Rp9.000,00 tiap
BAB I Sistem Bilangan Real 37
kilogramnya, maka persentase keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut
adalah . . . .
a. 5% c. 8% e. 12,5%
b. 7,5% d. 10%
9. Jarak pada peta antara Kota Jakarta dan Kota Bogor adalah 5 cm, sedangkan
jarak sesungguhnya 40 km. Skala peta itu adalah . . . .
a. 1 : 800 c. 1 : 80.000 e. 1 : 8.000.000
b. 1 : 8.000 d. 1 : 800.000
10. Nilai dari 11 – (-5) – 9 x (-2) adalah . . . .
a. –14 c. 14 e. 50
b. –2 d. 34
11. Nilai x yang memenuhi 35x – 1 = 27x + 3 adalah . . . .
a. 1 c. 3 e. 5
b. 2 d. 4
12. Hasil dari -9 x (-3) x (-4) : 6 adalah . . . .
a. -18 c. 18 e. 108
b. -16 d. 27
13. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b, maka log 18 6 adalah . . . .
a. a + b c. 2a + b e. (3a 5b)
2
1 +
b. a + 2b d. (a 2b)
2
1 +
14. Pernyataan berikut benar, kecuali . . . .
a. am : an = amn c. a . a = a e. (ap)q = ap.q
b. ap. aq = ap+q d. a . b = a.b
15. Hasil dari (23)4 x (23)– 5 = . . . .
a. 16 c.
8
1
e. 32
b. 8 d.
16
1
16. Nilai x yang memenuhi 53x – 2 = 252x + 1 adalah. . . .
a. - 4 c. - 2 e. 4
b. - 3 d. 3
17. Nilai x dari 3 log
9
1
= x adalah . . . .
a. -2 c. 1 e. 3
b. -1 d. 2
38 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
18. Jika log 2 = x; log 3 = y dan log 5 = z, maka nilai dari log 30 adalah . . . .
a. x – y – z c. x.y.z e. x – y + z
b. x+ y + z d. x + y – z
19. Bentuk sederhana dari 5log 10 + 5log 50 – 5log 4 adalah . . . .
a. 3 c. 8 e. 125
b. 5 d. 25
20. Karakteristik dari log 123,0002 adalah . . . .
a. 2 c. 123 e. 123,2
b. 0002 d. 123,0
21. Gula dibeli dengan harga Rp168.000,00 per 50 kg, kemudian dijual dengan harga
Rp2.100,00 tiap ½ kg. Persentase keuntungan dari harga pembelian adalah . . . .
a. 10% c. 25% e. 35%
b. 15% d. 30%
22. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka log 150 adalah. . . .
a. 0,1761 c. 1,8289 e. 2,7781
b. 0,7781 d. 2,1761
23. Jika log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 dan log 7 = 0.8451, maka log 105 adalah. . . .
a. 2,0162 c. 2,2162 e. 2,9255
b. 2,0212 d. 2,3162
24. Dengan menggunakan tabel, nilai dari log 0,3987 adalah. . . .
a. 0,6006 c. 0,6006 – 2 e. 0,6006 – 4
b. 0,6006 – 1 d. 0,6006 – 3
25. Bentuk pecahan dari 2,0666… adalah . . . .
a.
15
31
c.
3
2
2 e.
9
6
2
b.
31
15
d.
15
32
26. Invers penjumlahan dari
5
2
adalah . . . .
a. –
2
5
c.
2
5
e. 2,5
b. –
5
2
d. 5,2
27. (
5
2
+
10
3
) :
10
7
=. . . .
a. 0,35 c. 1 e. 4,9
b.
100
49
d.
14
20
BAB I Sistem Bilangan Real 39
28. Seorang pengusaha memerlukan modal sebesar Rp5.000.000,00. Modal usaha
tersebut di antaranya diperuntukkan 15% alat; 2/5 bahan baku; 0,25 tenaga; dan
sisanya untuk transportasi, maka besarnya biaya transportasi adalah . . . .
a. Rp400.000,00 c. Rp600.000,00 e. Rp1.000.000,00
b. Rp500.000,00 d. Rp800.000,00
29. 0,5% setara dengan . . . .
a.
2
1
c.
200
1
e.
10.000
5
b.
20
1
d. 0,05
30. Setelah mendapat bonus 10% seorang karyawan gajinya Rp12.100.000,00 maka
gaji sebelum bonus adalah . . . .
a. Rp1.210.000,00 c. Rp10.850.000,00 e. Rp13.310.000,00
b. Rp10.500.000,00 d. Rp11.000.000,00
31. Hasil dari
7
3
: 4
5
1
2 = . . . .
a.
155
77
c.
35
26
9 e.
156
77
b.
77
155
d.
77
156
32. Bentuk sederhana 4 3 +3 12 - 27 adalah . . . .
a. 6 3 d. 8 3 c. 10 3
b. 7 3 e. 9 3
33. Di bawah ini adalah contoh dari bilangan rasional, kecuali . . . .
a. 16 c.
11
25
e. log 2
b. 3,14 d. 30 %
34. Invers perkalian dari 2,1 adalah . . . .
a. –2,1 c.
10
21
e. 1,2
b. –
21
10
d.
21
10
35. 0,002 % dari Rp10 miliar adalah . . . .
a. Rp20.000,00 c. Rp20.000.000,00 e. Rp2.000.000.000,00
b. Rp200.000,00 d. Rp200.000.000,00
40 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
36. Invers perkalian dari 2
3
1
adalah . . . .
a. –
3
7
c. –
7
3
e.
3
7
b. -2
3
1
d.
7
3
37. Bentuk pecahan dari 1,02222. . . . adalah . . . .
a .
46
45
c.
45
47
e.
9
11
b.
45
46
d.
9
2
1
38. Nilai dari
5
2
x (
6
1
3
2
+ ) adalah . . . .
a.
2
45
c.
45
2
e.
3
2
b.
6
1
d .
3
1
39. Harga 1 dos disket Rp30.000,00. Jika pembeian 1 dos disket mendapat potongan
10%, disket yang dapat dibeli dengan uang Rp405.000,00 adalah . . . .
a. 11 dos c. 13 dos e. 15 dos
b. 12 dos d. 14 dos
40. Harga beli dari sebuah barang adalah Rp45.000,00. Jika untungnya 0,222. . .,
maka harga jualnya adalah . . . .
a. Rp94.000,00 c. Rp55.000,00 e. Rp 65.000,00
b. Rp10.000,00 d. Rp57.500,00
41. Hasil dari
11
5
x
4
1
:
4
3
2 = . . . .
a. 5 d. 5
11
9
e. 24
5
1
b.
11
5
5 c. 5
11
7
42. Bentuk pecahan dari 2, 636363. . . adalah . . . .
a. 2
7
11
c.
7
29
e.
11
25
b.
11
29
d.
7
25
43. Sebuah ruangan berbentuk persegi panjang digambar menggunakan sekala 1 : 200
dengan panjang 2 cm dan lebar 3 cm. Luas ruangan sebenarnya adalah . . . .
a. 6 cm2 c. 24 cm2 e. 24 m2
b. 12 cm2 d. 6 m2
BAB I Sistem Bilangan Real 41
44. Suatu gedung akan dibangun oleh 100 pekerja selama 60 minggu. Jika rencana
penyelesaian dipercepat menjadi 50 minggu, maka banyaknya pekerja yang harus
ditambah adalah . . . .
a. 20 orang c. 80 orang e. 120 orang
b. 40 orang d. 100 orang
45. Suatu gambar gedung berskala 1 : 500. Jika tanah tempat gedung tersebut
berukuran 20 cm x 15 cm, maka luas tanah sebenarnya adalah. . . .
a. 7.500 cm2 c. 750 m2 e. 75.000 m2
b. 75.000 m2 d. 7.500 m2
46. Jarak kota A dengan kota B sebenarnya 120 km dan dilukis dengan jarak 12 cm,
maka jarak kota A dan kota C yang sebenarnya jika dalam lukisan berjarak 15 cm
adalah . . . .
a. 80 km c. 100 km e. 150 km
b. 90 km d. 130 km
47. Suatu peta berskala 1 : 2.500.000. Jika jarak Surabaya-Yogyakarta 350 km, maka
dalam peta berjarak . . . .
a. 12 cm c. 15 cm e. 21 cm
b. 14 cm d. 18 cm
48. Suatu mobil berukuran 4 m x 2 m dilukis berukuran 10 cm x 5 cm, maka skala
lukisan tersebut adalah . . . .
a. 1 : 400 c. 1 : 200 e. 1 : 20
b. 1 : 300 d. 1 : 40
49. Pak Heri membeli sepasang sepatu , setelah harganya di potong 20% ia
membayar sepasang sepatu itu sebesar Rp48.000,00. Besarnya potongan harga
sepatu Pak Heri adalah . . . .
a. Rp 9.600,00 c. Rp 15.000,00 e. Rp 72.000,00
b. Rp 12.000,00 d. Rp 60.000,00
50. Diketahui log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r, Harga log 1500 jika dinyatakan
dalam p, q dan r adalah . . . .
a. p + q + r c. 2p + q + r e. 3p + q + 2r
b. p + 2q + 3r d. 2p + q + 3r
B. Soal Essay
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
1. Pak Burhan akan menjual berasnya sebanyak 60 karung dengan berat per karung
70 kg. Ia akan menjualnya melalui seorang komisioner bernama Ali Sastro dengan
kesepakatan tarra 3%, rafaksi 10%, dan komisi 15%. Beras dijual Rp4.000,00
per kg. Tentukan:
a. hasil komisi yang diterima Pak Ali,
b. hasil penjualan yang diterima Pak Burhan.
42 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2. Suatu gedung bertingkat direncanakan akan direnovasi dengan 400 pekerja selama
120 minggu. Setelah berjalan 30 minggu, pekerjaan dihentikan sementara selama
25 minggu. Renovasi ingin selesai sesuai dengan rencana semula. Berapakah
pekerja yang harus ditambahkan dalam pembangunan tersebut?
3. Sederhanakanlah bentuk akar di bawah ini.
a. 3 6 x (3 5 + 80 )
b. 3 28 x( 3 - 2 7 )
c. 2 5 x ( 2 120 + 5 24 )
4. Tanpa mengunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilainya.
a. 􀂥3 log
243
1
b. log 125 x 36 log 8 x 625log 6
1
2
1
c. log 8 + log 125 – log 4 – log 25 + Log 12,5 + Log 0,8
5. Jika log 3 = 0,4771 dan log 5 = 0,6990, tentukan nilai dari soal berikut.
a. log 75 b. log 135 c. log 6
Keberhasilan seseorang bukan terletak pada kecerdasannya,
tapi pada usahanya yang gigih.
Gambar: 1-5 Gedung yang akan direnovasi
Sumber: Art & Gallery
PERSAMAAN DAN
2 PERTIDAKSAMAAN
44 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Standar kompetensi persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat terdiri atas tiga
kompetensi dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap kompetensi dasar memuat
tujuan, uraian materi, dan latihan. Rangkuman diletakkan pada setiap akhir bahasan
suatu kompetensi dasar. Kompetensi dasar dalam standar kompetensi ini adalah
himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier, himpunan penyelesaian
persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, serta menerapkan persamaan dan
pertidaksamaan kuadrat. Standar kompetensi ini digunakan sebagai kemampuan
dasar berikutnya untuk mempelajari kompetensi-kompetensi yang lain. Oleh karena
itu, kemampuan dasar ini harus dikuasai dengan benar sehingga dalam mempelajari
kompetensi-kompetensi yang lain tidak akan mengalami kesulitan.
Pada setiap akhir kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal
yang mudah hingga yang sulit. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur
kemampuan kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari
kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator.
Ukurlah sendiri kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut.
Untuk melancarkan kemampuan kalian supaya lebih baik dalam mengerjakan soal,
disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan
guru maupun di rumah.
Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir
kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum
layak mempelajari standar kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian
dapat mengerjakan soal 60% atau lebih dengan benar dari soal-soal evaluasi yang
akan diberikan guru.
Setelah mempelajari kompetensi ini, siswa diharapkan dapat mengaplikasikannya
untuk mempelajari kompetensi pada pelajaran matematika maupun pelajaran lainnya
dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu bentuk contoh aplikasi persamaan dalam
bidang bisnis dan manajemen, yaitu pada analisis pulang pokok (break event point)
seperti uraian berikut ini.
Analisis pulang pokok adalah analisis model fungsi yang menggambarkan hubungan
antara ongkos, hasil penjualan, dan keuntungan. Suatu perusahaan akan memperoleh
keuntungan apabila total hasil penjualan (total revenue) yang diperolehnya melebihi
total biaya (total cost). Jika total biaya lebih besar dari pada total revenue pada waktu
tertentu, berarti perusahaan mengalami kerugian.
Biaya total produksi suatu barang biasanya terdiri atas biaya tetap dan biaya tidak
tetap atau biaya variabel. Biaya yang tetap pada waktu tertentu atau konstan
meskipun hasil produksi berubah-ubah, misalnya gaji karyawan, asuransi, dan
sebagainya disebut dengan biaya tetap. Sedangkan biaya yang berubah-ubah yang
bergantung pada kapasitas produksi biasa disebut dengan biaya variabel.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 45
Misalkan sebuah perusahaan memproduksi sebanyak x unit barang yang sejenis
dengan harga p rupiah per unitnya, maka total revenue penjualan dimodelkan sebagai
R = px. Misalkan F dan V adalah masing-masing biaya tetap (fix cost) dan biaya
variabel, maka total cost (Q) adalah sebagai berikut.
Q = F + V
Suatu kondisi pada saat total hasil penjualan sama dengan total biaya, yaitu kondisi
perusahaan belum mendapat untung dan tidak menderita kerugian dikatakan bahwa
perusahaan tersebut dalam kondisi pulang pokok (break event), yaitu
P = Q
Hubungan antara biaya total dan hasil penjualan total dilukiskan pada grafik seperti
yang ditunjukkan pada Gambar 2-2
Gambar: 2.1 Manager suatu perusahaan sedang membicarakan bisnis
melalui telepon
Gambar 2-2 Hubungan biaya total dan hasil penjualan
www.abizzasia.com
46 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
A. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
􀂾 menjelaskan pengertian persamaan linier,
􀂾 menyelesaikan persamaan linier satu variabel dan dua variabel,
􀂾 menjelaskan pengertian pertidaksamaan linier,
􀂾 menyelesaikan pertidaksamaan linier, dan
􀂾 menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan
dan pertidaksamaan linier.
Persamaan merupakan materi yang harus dimiliki siswa SMK setelah menguasai
standar kompetensi sistem bilangan riil. Untuk mempelajari kompetensi berikutnya,
persamaan merupakan kemampuan yang sangat penting, karena tanpa menguasai
persamaan kalian akan mengalami kesulitan dalam mempelajari kompetensikompetensi
selanjutnya. Oleh karena itu, pelajari materi ini dengan baik.
1. Definisi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui nilai
kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Kalimat terbuka yang
memuat tanda “sama dengan“ atau “=” disebut Persamaan. Sedangkan kalimat
terbuka yang memuat tanda “ < , < , > , > “ disebut Pertidaksamaan.
Persamaan atau pertidaksamaan linier adalah suatu persamaan atau pertidaksamaan
dengan variabelnya berpangkat satu.
Contoh 1
Persamaan linier satu variabel, 4x +12 = 0, 2p = 14
Persamaan linier dua variabel, 2x + 3y = 10 , 2p – 3q = 15
Persamaan linier tiga variabel, 2x + 3y – z = 10, 2p – 3q + 2r = -1
Contoh 2
Pertidaksamaan linier satu variabel, 4x – 16 > 0, 2y < 10
Pertidaksamaan linier dua variabel, 2x + 3y <6, y > 2x +16
(Pertidaksamaan linier dua variabel akan dibahas lebih lanjut pada Kompetensi
Program Linier).
2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel
Bentuk umum persamaan linier satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a 􀂏 0, a
adalah koefisien sedangkan b adalah konstanta.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan linier satu
variabel adalah sebagai berikut.
• Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau
dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama.
• Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi
dengan bilangan positif yang sama.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 47
Dengan memperhatikan kedua hal di atas, maka langkah-langkah untuk menentukan
penyelesaian persamaan linier satu variabel adalah sebagai berikut.
• Jika variabel dan konstanta terdapat di sebelah kiri dan sebelah kanan “=”, maka
kelompokkan variabel dengan variabel dan letakkan sebelah kiri, kemudian
konstanta dengan konstanta letakkan sebelah kanan =, atau sebaliknya. Ingat saat
memindahkan variabel atau konstanta dari sebelah kiri ke sebelah kanan atau
sebaliknya, maka tandanya berubah dari + menjadi – atau sebaliknya.
• Jika beberapa variabel sudah dikelompokkan sebelah kiri maka beberapa
konstanta di sebelah kanan atau sebaliknya. Jumlahkan atau kurangkan variabel
tersebut begitu juga konstantanya seperti menjumlahkan bilangan bulat.
• Jika konstanta sudah bergabung menjadi satu bilangan begitu juga variabelnya,
maka bagilah gabungan konstanta dengan koefisien dari gabungan variabel
tersebut. Ingat tanda + atau – dalam proses pembagian sudah dibahas pada
modul sistem bilangan riil.
• Jika bertemu dengan angka pecahan, baik yang sebelah kiri atau sebelah kanan
“=”, maka lebih baik kalikan dengan KPK dari penyebut pecahan tersebut.
Contoh 3
Tentukan nilai x dari persamaan-persamaan berikut.
a. 8x – 4 = 6x + 12 e. 5(x + 2) – 2x = 13
b. 8(x + 2) = 20 f. 2 + 2(p + 3) = 12
c.
2
1 x + 6 =
4
1 x – 7 g. 4(2x – 5) = 2(x + 4)
d.
6
1 4x
5
3x 7 +
=
+ h.
3
1 (6x + 9) =
4
1 (2x + 4)
Jawab:
a. 8x – 4 = 6x + 12 c.
2
1 x + 6 =
4
1 x – 7 (dikalikan 4)
8x – 6x = 12 + 4 2x + 24 = x – 28
2x = 16 2x – x = -28 – 24
x =
2
16 x = - 52
x = 8
b. 8(x + 2) = 20 d.
6
1 4x
5
3x + 7 = + ( dikalikan 30)
8x + 16 = 20 6(3x + 7) = 5(1 + 4x)
8x = 20 – 16 18x + 42 = 5 + 20x
8x = 4 18x – 20x = 5 – 42
x =
8
4 =
2
1 -2x = -37 ⇔ x =
2
18 1
2
37 =
−
−
48 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
⎩ ⎨ ⎧
− =
+ =
3x y −5
x 2y 3
y 2
7y 14
3x y 5
3x 6y 9
=
=
− =
+ =
1 −
3
3x y 5
x 2y 3
x
x
− = −
+ =
e. 5(x + 2) – 2x = 13 g. 4(2x – 5) = 2(x + 4)
5x +10 – 2x = 13 8x – 20 = 2x + 8
5x – 2x = 13 – 10 8x – 2x = 8 + 20
3x = 3 6x = 28 ⇔ x =
3
4 2
6
4 4
6
28 = =
f. 2 + 2(p + 3) = 12 h.
3
1 (6x +9) =
4
1 (2x + 4) (kalikan 12)
2 + 2p + 6 = 12 4(6x +9) = 3(2x + 4)
8 + 2p = 12 24x +36 = 6x + 12
2p = 12 – 8 24x – 6x = 12 – 36
2p = 4 18x = -24
p = 2 x =
3
1
1
18
6
1
18
24
− −
− = =
3. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel yang mempunyai variabel x dan y
adalah.
a1x + b1y = c1
a2y + b2y = c2
dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan riil.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier adalah dengan
mencari harga variabel atau peubah (x dan y) yang memenuhi sistem persamaan
tersebut. Himpunan penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan metode eliminasi,
substitusi atau campuran dari kedua metode tersebut.
a. Metode Eliminasi
Eliminasi artinya melenyapkan. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel
dengan cara eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan melenyapkan variabel
yang lain dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya.
Untuk melenyapkan variabel tersebut, koefisiennya harus sama. Jika belum sama,
maka masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu sehingga memiliki
koefisien yang sama.
Jika salah satu variabel dari dua persamaan memiliki koefisien sama, maka persamaan
satu dijumlahkan dengan yang lainnya. Tetapi jika memiliki koefisien yang berlawanan,
persamaan satu dikurangkan dengan yang lainnya.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Jawab:
Untuk mencari variabel y berarti variabel x yang dieliminasi. Untuk mengeliminasi atau
melenyapkan variabel x, maka koefisien x disamakan terlebih dahulu dengan cara
mengalikan dengan suatu bilangan sedemikian sehingga koefisien kedua persamaan
tersebut sama.
x = 1
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 49
⎩ ⎨ ⎧
− =
+ =
2x y 10
3x y 5
⎩ ⎨ ⎧
− =
+ =
2x y 10
3x y 5
2
1
3x y 5
x 2y 3
x
x
− = −
+ =
x 1
7 x 7
6x 2y 10
x 2y 3
−
−
−
=
=
− = +
+ =
y 4
5y 20
6x 3y 30
6x 2y 10
−
−
=
=
− = −
+ =
Sekarang melenyapkan variabel y untuk mencari x
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah {(-1,2)}
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Jawab:
Karena koefisien y sudah sama sehingga untuk mencari x hanya mengeliminasi y
dengan cara menjumlahkannya
3x + y = 5
2x – y = 10 +
5x = 15
x = 3
Untuk mencari y kita eliminasi x dengan mengalikan kedua persamaan sehingga
koefisien x menjadi sama
3
2
2x y 10
3x y 5
x
x
− =
+ =
Jadi, himpunan penyelesaian sistem adalah {(3, -4)}
b. Metode Substitusi
Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel
lainnya.
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Jawab:
3x + y = 5 . . . 1)
2x – y = 10 . . . 2)
Misalkan yang akan disubstitusi atau diganti adalah variabel y pada persamaan 2),
maka persamaan 1) dinyatakan dalam bentuk y = 5 – 3x.
2x – y = 10
2x – (5 – 3x) = 10
2x – 5 + 3x = 10
5x – 5 = 10
5x = 10 + 5
5x = 15 ⇔ x = 3
Selanjutnya x = 3 disubstitusikan ke y = 5 – 3x
= 5 – 3(3) = -4
Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah {(3, -4)}
50 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
2x 3y 1
3x 2y 4
⎩ ⎨ ⎧ −
=
− + =
x y 1
x 2y 2
Contoh 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Jawab:
3x + 2y = 4 . . . 1)
2x + 3y = 1 . . . 2)
Misalkan yang akan disubstitusikan atau diganti adalah variabel x pada persamaan 2) ,
maka persamaan 1) dinyatakan dalam bentuk
3x + 2y = 4
3x = 4 – 2y
3
x = 4 − 2y Substitusikan ke persamaan kedua
2x + 3y = 1
3y 1
3
2 4 2y + = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ − kedua ruas kalikan dengan 3
2(4 – 2y) + 9y = 3
8 – 4y + 9y = 3
5y + 8 = 3
5y = 3 – 8
5y = -5 ⇔ y = -1
Substitusikan y = -1 pada
3
x = 4 −2y untuk mendapatkan x.
2
3
6
3
4 2( 1)
3
x = 4 −2y = − = = −
Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah {(2, -1)}
c. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)
Contoh 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Jawab:
Karena koefisien x sudah sama, maka variabel yang dieliminasi adalah x dengan cara
mengurangkannya.
y 1
3y 3
x y 1
x 2y 2
=
=
− =
+ =
−
Substitusikan y = 1 ke salah satu persamaan untuk mendapatkan variabel x.
x + 2y = 2
x + 2(1) = 2
x + 2 = 2
x = 2 – 2 = 0, Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah {(0, 1)}
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 51
Contoh 9
Jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya 12. Carilah bilangan-bilangan itu.
Jawab:
Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka
hasil jumlahnya adalah x + y = 28 dan selisihnya adalah x – y = 12
Dengan menggunakan metode campuran dapat dicari x dan y, yaitu
x + y = 28
x – y = 12 +
2x = 40
x = 20
x + y = 28
20 + y = 28
y = 28 – 20 = 8
Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 20 dan 8.
Contoh 10
Harga 5 buku tulis dan 2 pensil di koperasi adalah Rp13.000,00. Harga 3 buku tulis dan
3 pensil adalah Rp10.500,00. Berapa harga sebuah buku tulis dan sebatang pensil?
Jawab:
Misalkan: harga sebuah buku tulis adalah x
harga sebuah pensil adalah y, maka diperoleh sistem persamaan
y 1.500
- 9y -13.500
15x 15y 52.500
15x 6y 39.000
5
3
3x 3y 10.500
5x 2y 13.000
x
x
=
=
+ =
+ =
+ =
+ =
Substitusi y = 1.500 ke salah satu persamaan sehingga
5x + 2y = 13.000
5x + 2(1.500) = 13.000
5x + 3.000 = 13.000
x = 2.000
Jadi, harga sebuah buku tulis Rp2.000,00 dan sebatang pensil Rp1.500,00.
4. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan :
ax + b (R) 0; a , b ∈ Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan.
Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier hampir sama dengan
menyelesaikan persamaan linier satu variabel.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan biasanya juga dituliskan dalam bentuk
interval atau selang. Beberapa bentuk atau jenis interval disajikan sebagai berikut.
N o tasi
(a, b)
[a, b]
Jenis Interval
Terbuka
Tertutup
Pertidaksamaan
a < x < b
Grafik
a ≤ x ≤ b
a b
a b
52 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Tanda pada batas interval berarti batas tersebut termasuk dalam interval. Sedangkan
tanda pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam interval.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah
sebagai berikut.
• Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan
ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang
sama (sifat 1).
• Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan
atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (sifat 2).
• Tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan
dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama (sifat 3).
Contoh 11
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini.
a. 5x > 4x + 9 f.
3
3x − 2 + 5 < 1 –
4
2x +1
b. 8x – 3 < 7x + 4 g. x + 3 < 2x + 5 < x + 8
c. 15x +2 < 12x + 11 h. 3 < 4x - 5 < 11
d. x – 4 > 2 + 4x i. x + 4 < 5x + 3 < 2x + 10
e. -2 –3x < 2x – 22
Jawab:
a. 5x > 4x + 9
5x – 4x > 4x + 9 – 4x (sifat 1)
x > 9
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | x > 9}
dengan garis bilangan
b. 8x – 3 < 7x + 4
8x – 7x – 3 + 3 < 4 + 3 +7x – 7x (sifat 1)
x < 7
Cara ini kurang efisien, cara lain dengan mengelompokkan variabel di satu ruas
dan konstanta di ruas lain seperti menyelesaikan persamaan linier
8x – 3 < 7x + 4
8x – 7x < 4 + 3
x < 7 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < 7}
dengan garis bilangan
0
(a, b]
[a, b)
(~, b)
[a, ~)
Setengah Tertutup
Terbuka
Setengah Terbuka
Setengah Terbuka a ≤ x < b
a < x ≤ b
x ≥ a
x < b
a
a
a
b
b
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 53
c. 15x + 2 < 12x + 11
15x – 12x < 11 – 2
3x < 9
x 􀂔
3 9
(sifat 2)
x 􀂔 3 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < 3}
dengan garis bilangannya
d. x – 4 > 2 + 4x
x – 4x > 2 + 4
-3x > 6
x <
3
6
−
(sifat 3, yaitu arah pertidaksamaan berubah)
x < -2 . Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < -2 }
dengan garis bilangannya
e. -2 – 3x < 2x – 22
-3x – 2x < -22 + 2
-5x < -20
x >
5
20
−
− ( sifat 3)
x > 4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | x > 4}
f.
3
3x − 2 + 5 < 1 –
4
2x +1 (dikalikan 12)
4(3x – 2) + 60 < 12 – 3(2x + 1)
12x – 8 + 60 < 12 – 6x – 3
12x + 6x < 12 – 3 + 8 – 60
18x < - 43
x < -
18
43
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < -
18
43
}
g. x + 3 < 2x + 5 < x + 8
(kelompokkan variabel di tengah dan konstanta di sebelah kiri dan kanan dengan
cara mengurangkan semua ruas dengan x dan 5 )
x + 3 – x – 5 < 2x + 5 – x – 5 < x + 8 – x – 5
-2 < x < 3, Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | -2 < x < 3}
dengan garis bilangannya
h. 3 < 4x – 5 < 11
(tambahkan semua ruas dengan 5) diperoleh
3 + 5 < 4x < 11 + 5
8 < 4x < 16 (bagi semua ruas dengan 4) diperoleh
2 < x < 4,
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | 2 < x < 4}
i. x + 4 < 5x + 3 < 2x + 10
(untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas, pisahkan menjadi dua
pertidaksamaan. Setelah itu, cari irisannya dari HP kedua pertidaksamaan
tersebut). Sebenarnya contoh g dan h dapat diselesaikan dengan cara ini.
54 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
3
7
4
1
x + 4 < 5x + 3 < 2x + 10 dipisahkan menjadi
x + 4 < 5x + 3 dan 5x + 3 < 2x + 10
x – 5x < 3 – 4 dan 5x – 2x < 10 – 3
- 4x < -1 dan 3x < 7
x >
4
1 dan x <
3
7
Grafik irisan
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x |
4
1 < x <
3
7 }
5. Soal-Soal Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
Untuk menyederhanakan soal-soal verbal menjadi kalimat matematika dalam bentuk
persamaan atau pertidaksamaan, objek yang ditanya dimisalkan dengan x.
Contoh 12
Bahlul meminjamkan uangnya kepada Fulan dan Eko sebanyak Rp5.000.000,00
dengan bunga masing-masing 5% dan 7% setahun. Setelah satu tahun Bahlul
menerima bunga total sebesar Rp330.000,00. Tentukan modal yang dipinjam Fulan
dan Eko.
Jawab:
Misalkan modal yang dipinjam Fulan adalah x
Modal yang dipinjam Eko adalah Rp5.000.000 – x
Bunga yang diperoleh Bahlul = Bunga dari Fulan + Bunga dari Eko
330.000 = 5% x + 7%( 5.000.000 – x) (kalikan 100)
33.000.000 = 5x + 7( 5.000.000 – x)
33.000.000 = 5x + 35.000.000 – 7x
7x – 5x = 35.000.000 – 33.000.000
2x = 2.000.000 ⇒ x = 1.000.000
Jadi, modal yang dipinjam Fulan adalah Rp1.000.000,00 dan dipinjam Eko adalah
Rp4.000.000,00.
Contoh 13
Seorang pedagang apel membeli 1.000 buah apel dengan harga Rp1.200,00 tiap buah.
Pedagang tersebut kemudian menjual 400 buah dengan laba 20%, berapakah ia harus
menjual sisanya yang 600 buah agar seluruhnya mendapatkan laba 35%?
Jawab:
Misalkan ia harus menjual sisanya yang 600 buah seharga x
Jadi, laba per buah = x – 1.200
Harga pembelian = 1000 buah x Rp1.200,00/buah
= Rp1.200.000,00
Laba seluruhnya = 35% × Rp1.200.000,00 = Rp.420.000,00
Laba seluruhnya = Laba 400 buah + laba 600 buah
420.000 = 20% × 400 × 1200 + 600(x – 1.200)
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 55
420.000 = 96.000 + 600x – 720.000
420.000 + 720.000 – 96.000 = 600x
600x = 1.044.000
x = 1.740
Jadi, ia harus menjual yang 600 buah dengan tiap buahnya sebesar Rp1.740,00
Contoh 14
CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan biaya Rp3.500,00 tiap unit
dan biaya operasional produksi Rp100.000,00. Jika mainan akan dijual Rp5.000,00,
tentukan banyaknya mainan yang harus diproduksi agar untung paling sedikit
Rp75.000,00.
Jawab:
Misalkan banyaknya mainan yang diproduksi sebanyak x
Biaya total yang dikeluarkan = 3.500x + 100.000
Pendapatan total yang diperoleh = 5.000x
Untung = Pendapatan total – Biaya total
= 5.000x – (3.500 x + 100.000)
= 5.000x – 3.500 x – 100.000
= 1.500x – 100.000
Untung paling sedikit Rp75.000,00
Jadi, untung > 75.000
1.500x – 100.000 > 75.000
1.500x > 75.000 + 100.000
1.500x > 175.000
x > 116,67
Jadi, supaya untung lebih dari Rp75.000,00 harus terjual 117 buah mainan anak-anak.
Contoh 15
Suatu perusahaan yang memproduksi barang tertentu dengan harga jual Rp900,00
tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp200.000,00 dan biaya variabel per unit
barang adalah Rp400,00.
a. Tentukan model persamaan untuk total hasil penjulan dan biaya total.
b. Tentukan banyaknya unit barang harus dijual ketika terjadi titik pulang pokok.
Jawab:
a. Misalkan banyaknya barang terjual adalah x unit
Total hasil penjualan x unit yang masing-masing unitnya Rp900,00 barang adalah
R = 900x
Biaya tetap = Rp200.000,00
Biaya variabel = Rp400,00
Biaya total produksi Q = 200.000 + 400x
b. Syarat terjadi titik pulang pokok, yaitu R = Q
R = Q
900x = 200.000 + 400x
500x = 200.000
x = 400
Jadi, banyaknya barang yang harus terjual agar terjadi pulang pokok adalah 400 unit.
56 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
B. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
1. Kalimat terbuka yang memuat tanda “=” disebut Persamaan . Sedangkan kalimat
terbuka yang memuat tanda “ < , < , > , > “ disebut Pertidaksamaan.
2. Persamaan atau pertidaksamaan linier adalah suatu persamaan atau
pertidaksamaan dengan variabelnya berpangkat satu.
3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dapat dicari dengan
menggunakan metode sebagai berikut.
a. eliminasi yaitu mencari nilai variabel dengan melenyapkan variabel yang lain
dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya,
b. substitusi yaitu mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan
variabel lainnya,
c. gabungan eliminasi dan substitusi.
4. Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan
ax + b (R) 0; a , b ∈ Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan.
5. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan
a. tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan
ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif
yang sama;
b. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan
atau dibagi dengan bilangan positif yang sama;
c. tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan
dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
1. Tentukanlah nilai x dari persamaan-persamaan di bawah ini.
a. 2x + 8 = x – 12
b. 3(2x + 1) = 27
c. 5x + 9 = 4x – 8
d. 2( x – 8) = 10 – x
e. -3( x – 1) = -2( x + 5)
f. 3( 2x – 1) = -2(3x – 1)
g. -(4x – 4) + 5x = 2x + 8
h. 2( 3x + 1) = -3(5 – x)
i. 2x + 5(x – 1) = 6 – 3x
j. 5(3x – 4) – x = 8
k. 3 + 5(x – 1) = 16 +3x
l. 2(5x + 4) – 4x = 8 – (2x – 5)
m. 5( x – 1) = 3(x + 6)
n.
2
1 x – 2 =
4
1 x + 5
o.
6
1 2x
5
2x 3 +
=
−
p.
3
1 (6x +9) =
4
1 (2x + 4)
q.
3
2 x – 4 =
4
1 x + 8
r.
7
10 x
5
2 − 3x = +
s.
3
1 (6x +9) =
5
3 (2x – 4)
t. 2(2x – 4) – 3x = 8 – 3(2 – 5x)
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 57
2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah ini.
a. 8x – 2 + 6x = 12 – 2x + 4
b. 1
2
2 1 3x
5
x − 3 + = + −
c. 3 – 2(1 – x) = 5 + 7(x – 3)
d.
5
2 ( x – 9) =
4
1 (3x + 5)
e. 6( x – 3) – 2x = 8 + 3(x + 1)
f. 8x – 2x + 6x = 18 – 3x + 4
g. 4
2
1 x
3
7
2x 3
−
+
+ =
−
h. 2 – 3(1 – 2x) = 5 – 2(2x + 3)
i.
5
2 ( 3x – 7) =
4
1 ( x + 15)
j. 4( 2x – 3) – 8x = 1 + 3(2x – 1)
3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut.
a. 6x > 3x - 9
b. 5x – 3 < 7x + 9
c. 5(x – 2) ≤ 6x + 10
d. 19 – 3x < 2 – 5
e. 6x – 2x > 3x – 12
f. 3x – 3 < 7x + 13
g. 5(2x – 2) ≤ 12x – 10
h. 19 – 3x < 2(x – 1) – 5
i. -2(5x + 4) – x > 3 – (6x – 5)
j. 5 – 2(1 – 2x) ≤ 10 + 6(x – 3)
k. 3 + 4(2p – 1) > -12 + 3p
l. -3(x + 4) – 3x > 1 – (8x – 6)
m. 8 – (1 – 2x) ≤ 8 + 2(4x – 3)
n. 3 – 4(2p – 1) > -12 + 5p
o.
5
3 1 3x 1
2
3x − 2 + ≤ − +
p.
2
1 x – 3 >
4
1 x – 5
q.
2
12 x
5
2x − 3 ≤ +
r. 5
3
x 2
+
− < -2 –
5
x + 4
s.
2
3 x – 3 >
4
1 x – 7
t.
4
2 − 3x
≤
2
12 + 2x
4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini dan lukis
garis bilangannya.
a. 7 ≤ 2x + 3 ≤ 23
b. 2x – 7 < 5x + 2 ≤ 2x + 20
c. 4x –10 ≤ 3x + 5 ≤ 4x + 17
d. 2x + 2 ≤ 4x + 1 ≤ 3x + 9
e. 3x + 2 ≤ 6 – 5x ≤ 2x + 10
f. 4 ≤ 2x + 3 ≤ 10
g. x – 4 < 3x + 2 ≤ x + 12
h. 2x –10 ≤ 5x + 5 ≤ 2x + 17
i. x + 5 ≤ 3x + 1 ≤ 2x + 8
j. 2x + 1 ≤ 3 – x ≤ 2x + 5
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier di bawah ini.
a. x – y = 2 d. 5x + 2y = 9 g. 4x + 2y – 13 = 0
x + y = 1 4x + y = 12 x + 15y + 4 = 0
b. 2x – y = 4 e. 2x + y = 4 h. 5x – 2y = 2
x – y = 5 x – y = 5 3x + 4y = 8
c. 3x – y = -7 f. 2x + y = 15 i. x + y = 3
x + 3y = 1 3x + 2y = -8 x + 2y = -1
6. Selesaikanlah soal-soal aplikasi di bawah ini.
a. Tuan Rente meminjamkan uangnya kepada Jaka dan Joko Rp7.000.000,00
dengan bunga masing-masing 6% dan 9% setahun. Setelah satu tahun
Tuan Rente menerima bunga total sebesar Rp480.000,00. Tentukan modal
yang dipinjam Jaka dan Joko?
b. Toko buku membeli 700 buku kuitansi dengan harga Rp2.000,00 tiap buah.
Toko tersebut kemudian menjual 500 buah dengan laba 15%, Berapakah harga
jual tiap buku kuitansi sisanya, agar mendapatkan laba 20%?
58 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
c. CV ADIL memproduksi kopiah dengan biaya Rp6.000,00 tiap unit, dan biaya
operasional produksi Rp500.000,00. Kopiah akan dijual Rp10.000,00. Tentukan
banyaknya kopiah yang diproduksi agar laba paling sedikit Rp1.000.000,00
d. Harga 1 kg apel 2 kali harga 1 kg jeruk. Sedangkan harga 2 kg apel dan 3 kg
jeruk Rp24.500,00. Jika dibeli 5 kg apel dan 10 kg jeruk, berapa rupiah yang
harus dibayar?
e. Toko grosir buku membeli 800 buku jurnal dengan harga Rp4.000,00 tiap buku.
Toko tersebut kemudian menjual 700 buah dengan laba 22%. Berapakah harga
jual tiap buku sisanya, agar mendapatkan laba 20%?
f. Marliana menerima gaji pokok Rp600.000,00 per bulan ditambah komisi 10%
atas penjualan yang dilakukannya. Marliana rata-rata mampu untuk menjual
barang seharga Rp150.000,00 tiap dua jam. Berapa jam ia harus bekerja ratarata
tiap bulan, agar ia dapat menerima penghasilan Rp2.400.000,00 dalam
sebulan?
7. Selesaikan soal-soal aplikasi di bawah ini.
a. Lima meja dan delapan kursi berharga $115 sedangkan tiga meja dan lima
kursi berharga $70. Tentukan harga satu meja dan satu kursi.
b. Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan
3 kaos adalah Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan lima kaos.
c. Jumlah dua bilangan bulat adalah 55 dan selisih kedua bilangan itu adalah 25.
Tentukan kedua bilangan tersebut.
d. Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila Marliana membeli
1 pulpen dan 3 pensil maka ia harus membayar Rp4.900,00. Berapa yang harus
dikembalikan toko tersebut kepada Marliana jika membeli 2 pulpen dan
8 pensil dengan menggunakan selembar uang kertas dua puluh ribuan.
e. Jumlah peserta didik suatu kelas adalah 52 orang, jika banyaknya peserta didik
laki-laki adalah 7 orang lebihnya daripada dua kali banyak peserta didik wanita,
tentukanlah masing-masing jumlah peserta didik tersebut.
(petunjuk : Jika banyak laki-laki x dan banyak wanita y, maka x = 2y + 7)
f. Dalam sebuah pesta, banyaknya pengunjung pria dibanding dengan
pengunjung wanita adalah 5 : 2. Jika di antara pengunjung pria pergi 5 orang,
maka perbandingannya menjadi 2 : 1. Berapakah banyaknya pengunjung pesta
tersebut.
g. Lima tahun yang lalu umur ayah enam kali umur anaknya. Lima tahun yang
akan datang jumlah umur ayah dan anaknya adalah 55 tahun, tentukan umur
ayah dan anaknya saat sekarang.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 59
C. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
􀂾 menjelaskan pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat,
􀂾 menjelaskan akar-akar persamaan kuadrat dan sifat-sifatnya, dan
􀂾 menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
1. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabel
(peubah) adalah dua. Bentuk umum adalah
ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan a, b, c ∈ R
Perhatikan jenis-jenis persamaan kuadrat berikut ini.
• x2 + 5x – 3 = 0, dengan a = 1, b = 5, dan c = -3 (persamaan kuadrat biasa)
• 2x2 + 5x = 0 , dengan a = 2, b = 5, dan c = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap)
• x2 – 6 = 0, dengan a = 1, b = 0, dan c = -6 (persamaan kuadrat murni)
Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari nilai x sedemikian sehingga
jika nilai disubstitusikan akan memenuhi persamaan tersebut. Penyelesaian
persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.
Beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:
dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan rumus kuadrat (biasa
dikenal dengan rumus abc).
a. Faktorisasi
Dengan menggunakan sifat perkalian pada bilangan riil, yaitu jika dua bilangan riil
dikalikan hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, salah satu dari bilanganbilangan
tersebut sama dengan nol atau kedua-duanya sama dengan nol.
Jika p × q = 0 maka p = 0 atau q = 0
Contoh 16
Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini.
a. x2 + 2x – 8 = 0 c. 2x2 + 5x – 3 = 0
b. 2x2 + 3x = 0 d. 5x2 – 3 = 0
Jawab:
Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0, terlebih dahulu dicari dua bilangan
memenuhi syarat sebagai berikut.
􀂙 Hasil kalinya adalah sama dengan a × c
􀂙 Hasil jumlahnya adalah sama dengan b
Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah α dan β, maka
α β = a × c dan α+ β = b
Dengan demikian, bentuk faktornya adalah
(ax + α)(ax + β) = 0
dengan membagi a pada ruas kiri dan kanan, maka akan didapat bentuk asal atau
mula-mula.
60 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
a. x2 + 2x – 8 = 0
Dari persamaan tersebut didapat
a =1, b = 2, dan c = -8 .
Cari dua bilangan sehingga
Hasil kalinya = 1× (-8) = -8,
Hasil penjumlahannya = 2.
Bilangan yang memenuhi syarat
tersebut adalah 4 dan -2, sehingga
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 0
x + 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = -4 x = 2
b. 2x2 + 3x = 0
Dari persamaan tersebut didapat
a = 2, b = 3, dan c = 0 .
Carilah dua bilangan sehingga,
Hasil kalinya = 2× 0 = 0,
Hasil penjumlahannya = 3
Bilangan yang memenuhi syarat
tersebut adalah 0 dan 3, sehingga
2x2 + 3x = 0
(2x + 0)(2x + 3) = 0
Membagi dengan 2 pada ruas kiri
dan kanan didapat
(x + 0)(2x + 3) = 0
x + 0 = 0 atau 2x + 3 = 0
x = 0 atau 2x = -3
x =
2
− 3
Untuk mempersingkat dapat juga
digunakan cara memfaktorkan
langsung (persamaan dengan nilai
c = 0).
2x2 + 3x = 0
x(2x + 3) = 0
􀀬􀀉􀀌􀀊􀀌􀀋x(2x + 3)
↓
= 0
x = 0 atau 2x + 3 = 0
2x = -3
x =
2
3
−
c. 2x2 + 5x – 3 = 0
Dari persamaan tersebut didapat a=2,
b = 5, dan c = -3
Cari dua bilangan sehingga
Hasil kalinya = 2× (-3) = -6,
Hasil penjumlahannya = 5
Bilangan yang memenuhi syarat
tersebut adalah -1 dan 6, sehingga
2x2 + 5x – 3 = 0
(2x – 1)(2x + 6) = 0
Membagi dengan 2 pada ruas kiri dan
kanan didapat
(2x – 1)(x + 3) = 0
2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0
2x = 1 atau x = -3
x = 2
1
d. 5x2 – 3 = 0
Untuk mempersingkat gunakan
pemfaktoran cara langsung
(persamaan dengan b = 0), yaitu
( 5x − 3)( 5x + 7) = 0
( 5x − 3) = 0 atau ( 5x + 3) = 0
5
3
x
5
3
x
5x 3 atau 5x 3
−
= =
= = −
b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan cara
sebagai berikut.
􀂙 Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian
sehingga koefisiennya adalah 1.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 61
􀂙 Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian
kuadratkan.
􀂙 Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan dimanipulasi,
sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Contoh 17
Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-akarnya.
a. x2 – 4x – 5= 0 c. x2 – 4 = 0
b. 2x2 – x – 1 = 0 d. x2 + 2x = 0
Jawab:
a. x2 – 4x – 5 = 0
x2 – 4x = 5
x2 – 4x + 4)2
2
1
( ⋅ − = 5 + 4)2
2
1
( ⋅ −
x2 – 4x + (-2)2 = 5 + (-2)2
(x − 2)2 = 9
x – 2 = ± 9
x – 2 = ± 3
x1 = 3 + 2 atau x2 = -3 + 2
= 5 = -1
b. 2x2 – x – 1 = 0
x2 –
2
1 x =
2
1
x2 – 2
1 x + )2
2
1
2
1
( ⋅ − =
2
1 + )2
2
1
2
1
( ⋅ −
)2
4
(x − 1 =
16
1
2
1 +
)2
4
(x − 1 =
16
9
4
x − 1 =
16
± 9
4
x − 1 =
4
± 3
x1 =
4
1
4
− 3 + atau x2 =
4
1
4
3 +
=
2
1 − = 1
c. x2 – 4 = 0
Karena b = 0 maka menambahkan
dengan setengah koefisien b
dikuadratkan pada kedua ruas tidak
memberikan arti pada persamaan
tersebut.
x2 – 4 = 0
x2 = 4
x = ± 4
x = ± 2
x1 = -2 atau x2 = 2
d. x2 + 2x = 0
x2 + 2x + 2)2
2
1
( ⋅ = 2)2
2
1
( ⋅
x2 + 2x + (1)2 = 1
(x +1)2 = 1
x +1 = ± 1
x +1 = ± 1
x1 = −1 −1 atau x2 = 1 −1
= -2 = 0
c. Rumus Kuadrat
Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah dipelajari
sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
a
c
x
a
b
x2
+ = −
62 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2
2
2 2
2 2 2
4a
b
a
c
)
2a
b
x (
a
b
x
)
a
b
2
1
(
a
c
)
a
b
2
1
x (
a
b
x
+ + = +
+ + ⋅ = + ⋅
−
−
2
2
2
4a
b 4ac
)
2a
b
(x −
+ =
2a
- b b 4ac
x
2a
b 4ac
2a
x b
4a
b 4ac
2a
x b
4a
b 4ac
2a
x b
2
2
2
2
2
2
± −
=
−
= ±
= ± −
+ = ± −
−
−
2a
b b 4ac
x
2
1.2
− ± −
=
Bentuk di atas disebut rumus kuadrat.
Contoh 18
Tentukan penyelesaian persamaan berikut dengan menggunakan rumus di atas.
a. x2 – 6x + 9 = 0 b. x2 – 1 = 0
Jawab:
a. Dari persamaan diperoleh a = 1,
b = -6, dan c = 9 gunakan rumus
kuadrat
2 1
(-6) (-6) 4 1 9
2a
b b 4ac
x
2
2
1.2
⋅
± − ⋅ ⋅
=
± −
=
−
−
Mempunyai dua akar sama
x 3 atau x 3
3
2
6
2
6 36 36
1 = 2 =
= =
± −
=
b. Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 0,
dan c = -1 gunakan rumus kuadrat
2 1
0 (0) 4 1 (-1)
2a
b b 4 a c
x
2
2
1.2
⋅
± − ⋅ ⋅
=
± − ⋅ ⋅
=
−
−
Mempunyai dua akar real berlawanan
x 1 atau x 1
2 2
2
0 4
1 = 2 =
= ±
±
=
−
2. Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel
(peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan
dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 63
Langkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
adalah sebagai berikut.
• Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat (ruas kanan = 0).
• Carilah akar-akar dari persamaan tersebut.
• Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut.
• Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara
menguji tanda pada masing-masing interval tersebut.
• Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan
tersebut.
Contoh 19
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.
a. x2 – 2x – 8 > 0
Jawab:
Nyatakan dalam bentuk persamaan.
x2 – 2x – 8 = 0
Carilah akar-akarnya
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
Buatlah garis bilangan yang memuat
akar-akar tersebut
Garis bilangan terbagi dalam tiga interval
yaitu Interval kiri, tengah dan kanan.
Tentukan tanda pada tiap intervalnya
dengan cara mengambil salah satu
bilangan yang terdapat pada masingmasing
interval, kemudian ujilah
tandanya.
Untuk mempersingkat penentuan tanda
pada tiap interval dapat dilakukan dengan
cara sebagai berikut.
􀂙 Jika koefisien x2 bertanda positif,
maka ruas kanan dari interval diberi
tanda positif, bergerak ke kiri
(tengah) bertanda negatif dan interval
paling kiri kembali bertanda positif.
􀂙 Sebaliknya jika koefisien x2 bertanda
negatif, maka ruas kanan dari interval
diberi tanda negatif, bergerak ke kiri
(tengah) bertanda positif dan interval
kiri kembali bertanda negatif.
b. 4 – x2 􀂕 0
Jawab:
4 – x2 􀂕 0
4 – x2 = 0
-3 0 5
x2 – 2x – 8 + – +
Dari tabel didapat
- interval yang memuat -3 bertanda (–)
- interval yang memuat 0 bertanda (+)
- interval yang memuat 5 bertanda(–)
Karena pada soal tanda pertidaksamaan
lebih dari (>), maka untuk penyelesaian
diambil interval yang bertanda positif
(+), yaitu
x < -2 atau x > 4
HP = {x | x < -2 atau x > 4, x ∈ R }
(2 – x)(2 + x) = 0
2 – x = 0 atau 2 + x = 0
x = 2 atau x = -2
Karena koefisien x2 bertanda (–), maka
interval kanan bertanda (–) berganti ke
kiri (+) kemudian (–) lagi.
-2
+ -
2
-
Karena pada soal tanda pertidaksamaan
lebih dari sama dengan (≥), maka untuk
penyelesaian diambil interval yang
bertanda (+).
HP = {x | -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R }
Contoh 20
Sisi miring sebuah segitiga adalah 34 cm. Carilah panjang dari kedua sisi siku-sikunya
apabila panjang sisi siku-siku yang pertama lebih panjang 14 cm dari yang lain.
-2 4
64 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Jawab:
Ambil x dan x + 14 sebagai panjang sisi siku-sikunya, maka
x2 + (x+14)2 = 342 (Teorema Pythagoras)
x2 + 14x – 480 = 0
(x + 30)(x – 16) = 0
x = -30 atau x = 16. Jadi, sisi siku-siku tersebut adalah 16 dan 16 + 14 = 30.
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan faktorisasi.
1. x2 – 7x + 6 = 0 11. 2x2 + 7x + 3 = 0
2. x2 – 2x + 1 = 0 12. 2x2 + 5x + 2 = 0
3. x2 – 4 = 0 13. 2x2 + 5x + 3 = 0
4. x2 + 3x – 4 = 0 14. 3x2 – 2x – 8 = 0
5. x2 + x – 6 = 0 15. 9x2 – 26x + 16 = 0
6. 3x2 – 4x = 0 16. 6x2 – 11x + 3 = 0
7. 5x2 – 6 = 0 17. 3x2 + 2x = 21
8. x2 + 4x + 3 = 0 18. 9x2 – 1 = 0
9. x2 + 3x – 10 = 0 19. 4x2 = 2x + 12
10. 2x2 + x – 1 = 0 20. 10x – x2 = 0
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
21. x2 – 3x – 10 = 0 31. 2x2 + 2x – 3 = 0
22. 4x2 – 12x + 8 = 0 32. 4x2 + 4x – 15 = 0
23. x2 + 4x – 12 = 0 33. 2x2 + 7x – 4 = 0
24. x2 + 4x + 4 = 0 34. 2x2 + 5x – 3 = 0
25. x2 + 2x = 4 35. x2 – 6x + 9 = 0
26. x2 – 2x = 0 36. 2x2 – 5x – 3 = 0
27. x2 – 4 = 0 37. -x2 + 2x = 0
28. -x2 + 2x + 10 = 0 38. 3x2 – 4x + 1 = 0
29. 2x2 + 11x + 9 = 0 39. x2 – x – 2 = 0
30. x2 – 2x – 15 = 0 40. x2 + 2x + 1 = 0
Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan soal-soal di bawah ini.
41. x2 – 6x + 8 = 0 46. 8x2 + 2x – 3 = 0
42. 3x2 – 5x – 2 = 0 47. 3x2 – x = 4
43. 6x2 – 5x – 6 = 0 48. 6x2 – 2x = 0
44. 2x2 + 7x – 5 = 0 49. x2 – 9 = 0
45. 3x2 – 8x – 3 = 0 50. x2 – 2x = 0
51. Salah satu akar persaman kuadrat x2 – 2x + c = 0 adalah 1, tentukan nilai c dan
akar yang lainnya.
52. Jika x=1 memenuhi persamaan (k – 1)x2 +(3k – 1)x = 3k, tentukan k dan akar
keduanya dari persamaan tersebut.
53. Akar 4x2 – 4x = m2 – 2m adalah 4, hitunglah nilai m.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 65
54. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dari bahan seluas 160 cm2. Tinggi kotak adalah
3 cm dan sisi alas kotak berbentuk persegi. Tentukan panjang sisi alasnya
Susunlah sehingga berbentuk persamaan kuadrat, kemudian carilah akar-akarnya pada
soal nomor 55 – 58.
55. 1
x 1
x 3
2x 3
x 6 =
+
− +
−
− 57. 6
x 5
8
x
6
=
−
−
56. 11x
3
14x2 5
− = − 58. 2x + 1 – 0
x 2
14 =
+
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini.
59. x2 + 2x – 3 < 0 65. 2x2 + 3x > 2 71. x2 – 6x – 40 < 0
60. x2 – x – 20 > 0 66. 5 + 3x2 ≥ x – x2 72. 3x2 + 2x ≤ 1
61. x2 ≤ 8x – 7 67. -2x2 + 7x – 5 ≤ 0 73. x2 + 2x ≥ - 3
62. 6x – x2 > 1 68. x2 – 3x – 88 > 0 74. 5x2 > 2x + 3
63. - x2 + 11x + 26 > 0 69. -x2 – 7x + 44 > 0 75. 2x2 +3x – 35 < 0
64. 5x2 + x < 6 70. x2 > 5x – 6 76. x2 – 10x + 25 > 0
3. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan
rumus, maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b2 – 4ac. Oleh
karena itu, b2 – 4ac disebut diskriminan atau pembeda dan biasanya disingkat dengan
D dimana D = b2 – 4ac. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat:
a. jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua
akar riil yang berbeda;
b. jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau
sering disebut mempunyai akar kembar;
c. jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar imajiner);
d. jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar
rasional yang berlainan.
Contoh 21
Selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini tanpa mencari akarnya terlebih
dahulu.
a. x2 + 4x + 4 = 0 b. x2 + x + 2 = 0 c. x2 – 2x – 3 = 0
Jawab:
a. Dari persamaan diperoleh
a = 1, b = 4,
dan c = 4
D = b2 – 4ac
= 42 – 4 × 1×4
= 16 – 16
= 0
Dua akar sama atau
kembar.
b. Dari persamaan
diperoleh a = 1, b = 1,
dan c = 2
D = 12 – 4× 1×2
= 1 – 8
= -7 < 0
Tidak mempunyai akar
riil (akar imajiner).
c. Dari persamaan diperoleh
a =1, b = -2, dan c = -3
D = (-2)2 – 4× 1× (-3)
= 4 + 12
= 16 > 0
D merupakan bilangan
kuadrat murni. Persamaan
mempunyai dua akar rasional
yang berbeda.
66 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 22
Tentukan harga k agar persamaan kuadrat x2 + 2 x + k = 0 mempunyai akar kembar
dan akar persamaan kuadratnya.
Jawab:
Dari persamaan a = 1, b = 2, dan c = k
Syarat agar akarnya kembar adalah D = 0
D = b2 – 4ac
= 22 – 4× 1×k
= 4 – 4k = 0
-4k = -4 ⇔ k = 1
x2 + 2 x + 1 = 0
(x + 1)(x + 1) = 0
x + 1 = 0 atau x + 1 = 0
x = -1 x = -1
4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
2a
b b 4ac
x
2
1
− − −
= atau
2a
b b 4ac
x
2
2
− + −
=
Jika kedua akar tersebut dijumlahkan dan dikalikan maka hasilnya
dan
a
- b
b - b
2a
b b 4ac
2a
b b 4ac
x x
2a
-
2 2
1 2
=
=
+ −
+
− −
+ = − −
a
c
4a
4ac
4a
b (b 4ac)
2a
b b 4ac
2a
b b 4ac
x x
2
2
2 2
2 2
1 2
=
=
− −
=
+ −
⋅
− −
⋅ = − −
Dengan demikian
a
c
dan x x
a
b
x x 1 + 2 = − 1 ⋅ 2 =
Contoh 23
Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan x2 + 2 x – 3 = 0, tentukanlah
a. x1 + x2 c. 22
2
1 x + x
b. 1 2 x x ⋅ d. 22
2 1
2
1 x x + x x
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 67
Jawab:
Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 2, dan c = -3.
a. x1 + x2 = 2
1
2
a
b − = − = − c. 1 2
2
1 2
22
2
1 x + x = (x + x ) − 2x x = (-2)2 – 2(-3) = 10
b. 1 2 x ⋅ x = 3
1
3
a c
− − = = d. 22
2 1
2
1 x x + x x = x x (x x ) 1 2 1 + 2 = -3(-2) = 6
Contoh 24
Salah satu akar x2 + 3 x + k = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai k.
Jawab:
Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 3, dan c = k. Jika akar-akar tersebut x1 dan x2,
maka x1 = 2 x2 (salah satu akarnya dua kali akar yang lain).
Dengan rumus, maka jumlah akar-akarnya adalah
x1 + x2 = 3
1
3
a
b − = − = −
2x2 + x2 = -3
3x2 = -3
x2 = -1 sehingga
x1 = 2 x2 = 2 ⋅ (−1) = -2
Dengan rumus, hasil kali akar-akarnya adalah
1 2 x ⋅ x = k
1
k
a
c = =
-2.(-1) = k
k = 2
Contoh 25
Hitunglah nilai k agar persamaan 2x2 + k x + k = 0 mempunyai akar-akar berikut.
a. Berkebalikan b. Berlawanan
Jawab:
a. Dari persamaan a = 2, b = k, dan c = k. Misalkan akar-akarnya adalah x1 dan x2,
maka akar-akar berkebalikan
2
1 x
x = 1 atau x1 x2 = 1
x1
x2 = 1
2
k
a c
= =
1
2
k = ⇔ k = 2
b. Akar-akar berlawanan x1 = - x2
x1 + x2 =
a
b
−
-x2 + x2 =
a
b
− =
2
k
−
0 =
2
k
− ⇔ k = 0
D. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
1. Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabel
(peubah) adalah dua. Bentuk umumnya adalah
ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan a, b, c ∈ R
68 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2. Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu sebagai
berikut.
a. Faktorisasi dengan menggunakan sifat, jika p × q= 0 maka p = 0 atau q = 0
b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut.
􀂙 Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan
sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1.
􀂙 Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian
kuadratkan.
􀂙 Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan kita
manipulasi sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana.
c. Rumus Kuadrat, yaitu
2a
b b 4ac
x
2
1.2
− ± −
=
3. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari
variabel (peubah) adalah dua. Langkah-langkah menentukan HP nya adalah
sebagai berikut.
• Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat dan cari akarnya.
• Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut dan tentukan tanda
(positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda
pada masing-masing interval tersebut.
• HP diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
4. Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah D dengan D = b2 – 4ac.
5. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
a. Jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai
dua akar riil yang berbeda.
b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau
sering disebut mempunyai akar kembar.
c. Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil (akar imajiner).
d. Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar
rasional yang berlainan.
6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku rumus berikut.
a
c
dan x x
a
b
x x 1 + 2 = − 1 ⋅ 2 =
1. Selidikilah sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut ini.
a. x2 – 2x + 1 = 0 d. 2x2 – 2x = 0
b. x2 + 4x + 3 = 0 e. x2 – 10 = 0
c. x2 + x + 1 = 0 f. 3x2 – 2x + 10 = 0
2. Dengan menggunakan pada soal nomor 1, tentukanlah hasil jumlah dan hasil kali
akar-akarnya.
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 69
3. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 + 4x + 3 = 0, tentukanlah
a. x1 + x2 d. 1
22
2
2
1 x x + x x
b. x1 . x2 e.
2
1
1
2
x
x
x
x
+
c. 22
2
1 x + x f.
1 2 x
1
x
1 +
Untuk persamaan pada soal nomor 4 – 6, tentukanlah
a. x1 + x2 d. 1
22
2
2
1 x x + x x
b. x1 . x2 e. (x1 – x2)2
c. 22
2
1 x + x f.
2
1
1
2
x
x
x
x
+
4. x2 + 2x + 1 = 0 5. x2 – x = 0 6. x2 – 2 = 0
E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
􀂾 menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar yang diketahui,
􀂾 menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain,
􀂾 menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan
dan pertidaksamaan kuadrat.
1. Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah
sebagai berikut
Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
(x – x1)(x – x2) = 0 x2 – (x1 + x2)x + 1 2 x ⋅ x = 0
Contoh 26
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut.
a. -2 dan 5 c.
3
2
dan -2
b. 1 – 2 dan 1 + 2 d. -
5
1
dan
2
3
Jawab:
a. Menggunakan rumus perkalian faktor
Misalkan x1 = -2 dan x2 = 5
(x – (-2))(x – 5) = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x2 – 3x – 10 = 0
Menggunakan rumus jumlah dan hasil
kali akar
Misalkan x1 = -2 dan x2 = 5
x1 + x2 = -2 + 5 dan 1 2 x ⋅ x = − 2 ⋅5
= 3 = -10
x2 – (x1 + x2)x + x1. x2 = 0
x2 – (3)x + (-10) = 0
x2 – 3x – 10 = 0
70 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
b. x1 = 1 – 2 dan x2 = 1 + 2 (gunakan rumus jumlah dan hasil kali)
x1 + x2 = (1 – 2 ) +(1 + 2 ) = 2
1 2 x ⋅ x = (1 – 2 )(1 + 2 ) = -1
x2 – (x1 + x2 )x + ( 1 2 x ⋅ x ) = 0
x2 – 2x + (-1) = 0, sehingga x2 – 2 x –1 = 0
c. x1 =
3
2
dan x2 = -2
x1 + x2 =
3
2
+(-2) =
3
2 − 6 = -
3
4
1 2 x ⋅ x = ( 2)
3
2
⋅ − = -
3
4
x2 – (x1 + x2 ) x + (x1 . x2) = 0
x2 – (
3
4
− ) x + (
3
4
− ) = 0, sehingga 3x2 + 4 x – 4 = 0
d. x1 = -
5
1
dan x2 =
2
3
x1 + x2 = -
5
1
+
2
3
=
10
− 2 +15 =
10
13
1 2 x ⋅ x = -
5
1
.
2
3
=
10
3
−
x2 – (x1 + x2 ) x + (x1 . x2) = 0
x2 –
10
13
x + (
10
3
− ) = 0, sehingga 10x2 – 13 x – 3 = 0
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-akar Persamaan
Kuadrat Lain
Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain,
perhatikan contoh-cotoh soal di bawah ini.
Contoh 27
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan
kuadrat x2 – 2x – 10 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan x2 – 2x – 10 = 0 adalah x1 dan x2,
Dari persamaan diperoleh a = 1, b = -2 dan c = -10, sehingga
2
1
2
a
x x b 1 2
= − =
+ = −
−
dan
10
1
10
a
c
x x1 2
= −
−
=
⋅ =
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah α dan β yang
akarnya dua kali akar-akar persamaan yang diketahui atau α = 2x1 dan β = 2x2.
α + β = 2x1 + 2x2 dan α ⋅β = 2 1 2 x ⋅ 2x = 4 1 2 x ⋅ x
= 2(x1 + x2) = 2 ⋅ 2 = 4 = 4(-10) = -40
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 71
Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar α dan β adalah
x2 – (α + β)x + α ⋅β = 0
x2 – (4)x + (-40) = 0
x2 – 4x – 40 = 0
Contoh 28
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1 x + 2 dan 2 x + 2 dari
persamaan kuadrat x2 = 3x – 6 yang mempunyai akar-akar x1 dan x2.
Jawab:
x2 = 3x – 6
x2 – 3x + 6 = 0 diperoleh a = 1, b= -3 dan c = 6
x1 + x2 = -
a
b = 3 2 1 x ⋅ x =
a c
= 6
misal akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α dan β,
α = 1 x + 2 dan β = 2 x + 2, maka
α + β = 1 x + 2 + 2 x + 2 α ⋅β = ( 1 x + 2) . ( 2 x + 2)
= 1 x + 2 x + 4 = 1 2 x ⋅ x + 2 1 x + 2 2 x + 4
= 3 + 4 = 1 2 x ⋅ x + 2( 1 x + 2 x ) + 4
= 7 = 6 + 2 ⋅ 3 + 4 = 16
x2 – (α + β) x + (α ⋅β ) = 0
x2 – 7x + 16 = 0
3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh 29
Sebuah pabrik mainan menjual produknya seharga Rp6.000,00 per unit. Biaya
pembuatan x unit produk didapat menurut persamaan B = x2 + 1.000 x. Berapa unit
produk harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laba Rp6.000.000,00?
Jawab:
Laba = Pendapatan – Biaya pembuatan
= Harga jual x jumlah yang diproduksi – Biaya pembuatan
Gambar 2.3 Hasil produksi pabrik pembuatan mainan
Art and galery
72 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
6.000.000 = 6.000 x – (x2 + 1.000 x)
0 = x2 – 5.000 x + 6.000.000
0 = (x – 3.000)(x – 2.000)
x – 3.000 = 0 atau x – 2.000 = 0
x1 = 3.000 atau x2 = 2.000
Jadi, untuk mendapatkan laba Rp6.000.000,00 harus diproduksi dan terjual sebanyak
3.000 unit atau 2.000 unit.
Contoh 30
Pak Somad memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan ukuran (2x + 5) meter
dan Pak Karta juga memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran
panjang (10x– 5) meter dan lebar 2x meter. Luas tanah Pak Karta dua kalinya luas
tanah pak Somad. Tentukan luas tanah Pak Somad dan Pak Karta.
Jawab:
Luas tanah Pak Somad = sisi x sisi
= (2x + 5)(2x + 5) = 4x2 + 20x + 25
Luas tanah Pak Karta = Panjang x lebar
= (10x – 5 ) ⋅ 2x = 20x2 – 10x
Luas tanah Pak Karta = dua kalinya luas tanah Pak Somad
20x2 – 10x = 2 (4x2 + 20x + 25)
20x2 – 10x = 8x2 + 40x + 50
12x2 – 50x – 50 = 0
6x2 – 25x – 25 = 0
(6x + 5)(x – 5) = 0
6x + 5 = 0 atau x – 5 = 0
x1 = -1,2 (tidak memenuhi) atau x2 = 5
Jadi, luas tanah Pak Somad = ( 2 ⋅ 5+ 5)( 2 ⋅5 + 5) = 225 m2
luas tanah Pak Karta = (10 ⋅ 5 – 5 ) ⋅ 2 ⋅5= 450 m2
F. Rangkuman Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
1. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah
sebagai berikut.
Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
(x – x1)(x – x2) = 0 x2 – (x1 + x2)x + 1 2 x ⋅ x = 0
2. Langkah-langkah menyusun persamaan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat
lain sebagai berikut:
a. Misalkan akar-akar persamaan yang diketahui adalah x1 dan x2 .
b. Tentukan nilai x1 + x2 dan 1 2 x ⋅ x
c. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah α dan β
d. Tentukan nilai α + β dan α ⋅β
e. Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah : x2 – (α + β)x + α ⋅β = 0
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 73
1. Susunlah persamaan kuadrat baru dengan menggunakan rumus perkalian faktor
dan rumus jumlah dan hasil kali yang mempunyai akar-akar sebagai berikut.
a. 3 dan -2 d. 0 dan 4 g. -1 dan 1
b.
2
1 dan 2 e. 5 dan
5
2 h.
4
3 dan
3
4
c. 2 dan − 2 f. 1 ± 2 i. 4 + 2 3 dan 4 – 2 3
2. Akar-akar 3x2 – 2x + 10 adalah x1 dan x2, susunlah persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya adalah
a. x1 + 5 dan x2 + 5 c. x1 – 3 dan x2 – 3 e. 2x1 + 1 dan 2x2 + 1
b. 22
2
1 x dan x d. -x1 dan -x2 f. x1 + 3 dan x2 + 3
3. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar
persamaan kuadrat x2 – 4x + 5 = 0.
4. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya lima kali akar-akar
persamaan kuadrat x2 + 5x + 1 = 0.
5. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kuadrat dari akar-akar
persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 1 = 0.
6. Sebuah pabrik menjual produknya seharga Rp7.000,00 per unit. Biaya pembuatan
x unit produk didapat menurut persamaan B = 2x2 + 2000 x. Berapa unit produk
harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laba Rp2.000.000,00?
7. Pak Ali memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang
(20x + 50) meter dan lebar 4x meter. Jika luas tanah Pak Ali 4 kali dari luas tanah
Ibu Selvi yang memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan ukuran
(4x + 10) meter. Tentukan ukuran tanah Pak Ali dan Ibu Selvi.
www.saryono-wordpress.com
Gambar 2.4 Tanah Pak Ali
74 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
8. Biaya total untuk pembuatan x unit barang tertentu, diperoleh dari bentuk
C = 10x2 – 50x + 7.000. Berapa banyak unit dapat dibuat untuk biaya total yang
dikeluarkan sebesar Rp75.000,00?
A. Pilihan Ganda
Pilihlah salah satu jawaban a, b, c, d dan e yang benar.
1. Himpunan penyelesaian dari 2(x – 3) < 4(2x + 6 ) adalah . . . .
a. { x | x < - 5 } c. { x | x < -2 } e. { x | x > 5 }
b. { x | x > - 5 } d. { x | x < 5 }
2. Himpunan penyelesaian dari 2 – 3(x – 1) < 2 – 6(x +1) adalah . . . .
a. { x | x < 3} c. { x | x < -3 } e. { x | x > 5 }
b. { x | x > - 3 } d. { x | x < -2 }
3. Salah satu akar dari 2x2 – (3k +2)x + (2k – 1) = 0 ialah 5; maka nilai k adalah .. . .
a. -5 c. 0,5 e. 3
b. -3 d. 2
4. Himpunan penyelesaian dari -2 < 3(x – 1) < 2 adalah . . . .
a. { x |-
3
2 < x <
3
5 } c. { x |-
3
2 < x < 1 } e. { x |
3
1 < x <
3
5 }
b. { x |
3
2 < x < 5 } d. { x | 1 < x < 5 }
5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (2x – 2)2 ≤ (5 – x)2 adalah . . . .
a. {x | x ≤ -3 atau x ≥
3
7 , x ∈ R } d. {x | x ≤ -3 atau x ≥ -
3
7 , x ∈ R }
b. {x | x ≤ 3 atau x ≥ -
3
7 , x ∈ R } e. {x | -
3
7 ≤ x ≤ 3 , x ∈ R }
c. {x | -3 ≤ x ≤
3
7 , x ∈ R }
6. Himpunan penyelesaian dari x2 – x > 90 adalah . . . .
a. { x |-9 < x < 10} d. { x |-10 < x < 9}
b. { x |x < -10 atau x > 9} e. { x |x < 9 atau x > 10}
c. { x |x < -9 atau x > 10}
7. Jika diskriminan x2 – x – m = 0 sama dengan nol , maka nilai m = . . . .
a. -4,00 c. 0 e. 4
b. -0,25 d. 0,25
8. Salah satu akar persamaan kuadrat x2 + 3px + p + 2 = 0 adalah 6 , maka nilai p
adalah . . . .
a. -5 c. 0 e. 2
b. -2 d. 1
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 75
9. Sepuluh tahun yang lalu umur Neni dua kali umur Bimbim. Lima tahun dari
sekarang umur Neni menjadi satu setengah kali umur Bimbim. Umur Neni sekarang
adalah . . . .
a. 20 tahun c. 30 tahun e. 40 tahun
b. 25 tahun d. 35 tahun
10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
5
1 dan 5 adalah . . . .
a. 5x2 + 26x + 5 = 0 c. 5x2 – 26x – 5 = 0 e. 5x2 + 26x + 1 = 0
b. 5x2 + 26x – 4 = 0 d. 5x2 – 26x + 5 = 0
11. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -6 adalah . . . .
a. x2 – 10x – 24 = 0 c. x2 + 2x + 24 = 0 e. x2 + 2x – 24 = 0
b. x2 + 10x - 24 = 0 d. x2 – 2x - 24 = 0
12. Jika x1 dan x2 akar-akar dari 2x2 – 3x – 9 = 0, maka nilai dari x1
2 + x2
2 = . . . .
a. -11,25 c. 2,25 e. 11,25
b. -6,75 d. 6,75
13. Jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 + x – 2 = 0, maka nilai dari
1 2 x
1
x
1 + = . . . .
a. -1,0 c. 0,5 e. 1,50
b. -0,5 d. 0,67
14. Bentuk perkalian 8x2 + 18x – 5 adalah . . . .
a. (4x + 5)(2x – 1) c. (4x – 1)(2x – 5) e. (4x – 1)(2x + 5)
b. (4x – 1)(2x – 5) d. (4x – 5)(2x – 1)
15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - x2 + x + 6 > 0 adalah . . . .
a. {x|x > 3, x ∈ R} c. {x|x < 2, x ∈ R} e. {x| 3 < x < -2, x ∈ R}
b. {x|x < 3, x ∈ R} d. {x|-2 < x < 3, x ∈ R}
16. Penyelesaian dari pertidaksamaan -2 < 3x + 1 < 7 adalah . . . .
a. -3 < x < 7 c. -2 < x < -1 e. -1 < x < 1
b. -1 < x < 2 d. 1 < x < 2
17. Persamaan (m + 2) x2 + 6x + 3m = 0 mempunyai akar riil, maka batas-batas nilai
m adalah . . . .
a. m < - 3 atau m > 1 c. m < -1 atau m > 3 e. -3 < m < 1
b. -1 < m < 3 d. -3 < m < -1
18. Persamaan kuadrat 2x2 + 6x – 12 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Nilai dari
x1 + x2 adalah . . ..
a. -4 c. -1 e. 4
b. -3 d. 1
76 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
19. CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan biaya Rp5.000,00 per
unit dan biaya operasionalnya Rp2.500.000,00. Rencana mainan akan dijual
seharga Rp9.000,00. Supaya CV mendapat untung Rp13.500.000, maka banyaknya
mainan yang harus terjual adalah . . . .
a. 2.500 unit c. 4.000 unit e. 8.000 unit
b. 3.000 unit d. 4.500 unit
20. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan
2x2 –7x + 13 = 0 adalah . . . .
a. 2x2 – 19x + 52 = 0 c. 2x2 – 7x + 52 = 0 e. 2x2 – 19x + 70 = 0
b. 2x2 – 5x + 10 = 0 d. 2x2 – 7x + 10 = 0
21. Himpunan penyelesaian dari 3x2 +7x > 10 adalah . . . .
a. {x| -
10
3
< x <1} c. { x |-
3
10
< x < 1} e. { x |-1 < x <
3
10
}
b. {x| x < -
3
10
atau x>1 } d. { x | x< -1 atau x >
3
10
}
22. Sifat dari akar-akar persamaan kuadrat 2x ( x + 2 ) = 3x – 5 adalah . . . .
a. Nyata dan berbeda c. Nyata dan sama e. tidak nyata
b. Nyata dan irasional d. Nyata dan berlawanan
23. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 2x + 6 = 0, maka
x2
2 + x1
2 = . . . .
a. -8 c. 3 e. 8
b. -3 d. 6
24. Sepotong kawat sepanjang x cm hendak dibentuk persegi. Agar luasnya lebih besar
daripada kelilingnya, maka nilai x yang memenuhi adalah . . . .
a. x > 4 c. x < 8 e. x < 16
b. x > 8 d. x > 16
25. Persamaan x2 + 3x + 36 = 3k(x + 3) tidak mempunyai akar riil. Nilai k yang
memenuhi adalah . . . .
a. k < - 5 atau k > 3 c. -5 < k < 3 e. -3 < k < 5
b. k < -3 atau k > 5 d. 3 < k < 5
26. Agar kedua akar dari x2 + (m + 1) x + 2m – 1 = 0 khayal, maka batas-batas
m adalah . . . .
a. m < 1 atau m > 5 c. 1 < m < 5 e. m >1
b. m < 1 atau m > 5 d. 1 < m < 5
27. Nilai x dari
2
x 5
7
2 4x +
=
− − adalah . . . .
a. - 39 c. -3 e. 39
b. - 31 d. 3
BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 77
28. Himpunan penyelesaian dari 1 – 2(3x – 1) < 5 – 5(x –1) adalah . . . .
a. { x | x < - 13 } c. { x | x < 7 } e. { x | x < 13}
b. { x | x > -7 } d. { x | x > 7 }
29. Nilai x dari sistem persamaan x – 5y = - 15 dan - 3x + y = 17 adalah . . . .
a. - 6 c. - 2 e. 5
b. - 5 d. 2
30. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat
yang akar-akarnya
p
dan q
q
p adalah . . .
a. 2x2 + 13x + 2 = 0 c. 2x2 – 13x – 2 = 0 e. x2 + 13x – 2 = 0
b. 2x2 + 13x – 2 = 0 d. x2 – 13x + 2 = 0
B. Soal Essay
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar
1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini !
a. -3(4x – 1) = 1 – 10(x – 1)
b. 3(x + 7 ) = 4 – 2(x + 10)
2. Tentukan persamaan kuadratnya yang memiliki akar-akar
a. -5 dan
2
1
d.
2
1
– 5 dan
2
1
+ 5
b. 3 dan -7 e. 9 dan -9
c. -2 dan
4
1
f.
2
5
dan
4
3
3. Tentukanlah nilai diskriminannya dan sifat-sifatnya dari persamaan kuadrat di
bawah ini.
a. 2x – 4x(x + 1) = 2 – x b. 4x(x – 1) = x2 – 3
4. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 kali akar-akar x2 + 10x = 3.
5. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 kurangnya dari akar-akar
x2 = 2x + 5 ?
6. Tentukanlah himpunan penyelesaiannya dari
a. - x2 – 7x + 44 > 0 d. x2 > 5x - 6
b. 2x2 +3x – 35 < 0 e. x2 – 10x + 25 > 0
7. Diketahui (m – 3) x2 + (2m – 3)x + m = 0. Tentukan nilai m
a. agar mempunyai dua akar riil berlainan, dan
b. tidak mempunyai akar riil.
Bakat kita akan diperoleh hanya dengan belajar dan bekerja dan
nilai kita diperoleh hanya dengan tindakan-tindakan dan bukan
dengan kata-kata
78 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Beberapa ahli telah mencoba
mengemukakan faktor-faktor
yang terlibat dalam kepuasan
kerja. Herzberg, seperti yang
dikutip oleh Gilmer (1961),
mengemukakan faktor-faktor
kemapanan atau keamanan
pekerjaan, kesempatan untuk
maju, pandangan pekerja
mengenai perusahaan dan
manajemennya, gaji, aspekaspek
intrinsik pekerjaan,
kualitas penyeliaan, aspek-aspek
Ruang Pengetahuan
KEPUASAN KERJA
Kepuasan kerja akhir-akhir ini semakin terasa penting artinya dalam lingkup organisasi.
Kepuasan kerja mempunyai pengaruh yang cukup besar terhadap produktivitas
organisasi baik secara langsung ataupun tidak langsung. Ketidakpuasan merupakan
titik awal dari masalah-masalah yang muncul dalam organisasi, seperti kemangkiran,
konflik manager-pekerja, ‘turn-over’, serta banyak masalah lainnya yang menyebabkan
terganggunya proses pencapaian tujuan organisasi. Dari sisi pekerja, ketidakpuasan
dapat menyebabkan menurunnya motivasi, menurunnya moril kerja, menurunnya
tampilan kerja baik secara kualitatif maupun secara kuantitatif.
Secara umum dapat dikemukan bahwa pemecahan masalah-masalah organisasi dari
segi manusianya dapat dilakukan melalui prinsip-prinsip kepuasan kerja. Dengan
adanya kepuasan kerja yang tinggi akan muncul ikatan yang positif antara pekerja
dengan pekerjaannya, sehingga dari pekerja ini dapat diharapkan suatu hasil yang
optimal. Dari hampir semua perusahaan yang mengalami kemajuan yang pesat
ditandai dengan gejala kepuasan kerja yang tinggi di antara para pekerjanya.
Pada dasarnya, prinsip-prinsip kepuasan kerja diarahkan kepada pemenuhan
kebutuhan-kebutuhan pekerja. Milton menyatakan bahwa kepuasan kerja merupakan
kondisi emosional positif atau menyenangkan yang dihasilkan dari penilaian pekerja
berdasarkan pengalamannya (Milton, hal.151). Lebih jauh lagi, Milton mangatakan
reaksi efektif pekerja terhadap pekerjaannya tergantung kepada taraf pemenuhan
kebutuhan-kebutuhan fisik dan psikologis pekerja tersebut oleh pekerjaannya.
Kesenjangan antara yang diterima pekerja dari pekerjaannya dengan yang
diharapkannya menjadi dasar bagi munculnya kepuasan atau ketidakpuasan.
sosial dari pekerjaan, komunikasi, serta kondisi kerja fisik dan jam kerja sebagai faktorfaktor
yang menentukan kepuasan kerja.
Dari kenyataan-kenyataan di atas tampak bahwa faktor-faktor relasi sosial yang baik
dan penghargaan terhadap prestasi kerja merupakan faktor-faktor yang sangat
menetukan kepuasan kerja. Faktor gaji dan imbalan lainnya walaupun masih dianggap
penting, tidak memperoleh penekanan yang khusus. Dengan demikian, untuk
meningkatkan kepuasan kerja kedua hal itu harus terpenuhi terlebih dahulu.
(USU digital library)
MATRIKS
Sumber: yginsaf.files.wordpress.com
3
80 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Standar kompetensi konsep matriks terdiri atas tiga kompetensi dasar. Dalam
penyajian pada buku ini setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan
latihan. Rangkuman diletakkan pada setiap akhir bahasan suatu kompetensi dasar.
Kompetensi dasar dalam standar kompetensi ini adalah macam-macam matriks,
operasi matriks dan determinan serta invers. Standar kompetensi ini digunakan untuk
melengkapi dalam menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan juga untuk
merumuskan berbagai masalah pada kehidupan sehari-hari dalam rangka menunjang
program keahlian Penjualan dan Akuntansi
Sumber: yginsaf.files.wordpress.com
Agar data lebih sederhana lagi sehingga proses pengolahan data lebih mudah, tabel
juga sering disajikan dalam bentuk matriks.
Dalam proses penyelesaian masalah dalam pelajaran lain atau dalam kehidupan
sehari-hari sering dihadapkan pada pencarian nilai beberapa peubah. Matriks adalah
salah satu media bantu untuk memecahkan masalah-masalah tersebut. Misalkan
matriks dapat memudahkan dalam membuat analisis masalah ekonomi yang memuat
bermacam-macam peubah. Matriks juga dapat digunakan untuk mempermudah
analisis input-output baik dalam bidang ekonomi, manajemen, kependidikan dan
bidang lainnya.
Pada setiap akhir kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal
yang mudah hingga sulit. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan
kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini
secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukurlah sendiri kemampuan
kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut.
Untuk melancarkan kemampuan kalian supaya lebih baik dalam mengerjakan soal,
disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan, baik di sekolah dengan bimbingan
guru maupun di rumah.
Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir
kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum
layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian
dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.
Gambar di samping merupakan
kegiatan perbankan sehari-hari.
Para nasabah sering menemukan
suatu data yang disajikan dalam
bentuk daftar, misalkan daftar
bunga, daftar konversi mata
uang dan daftar-daftar yang lain.
Mengapa data itu sering harus
dibuat tabel? Tabel dibuat
dengan tujuan agar data mudah
dibaca dan dimengerti.
www. yginsaf.files.wordpress.com
Gambar 3-1 Kegiatan perbankan sehari-hari
BAB III Matriks 81
A. Macam-macam Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 menjelaskan pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo
matriks,
􀂾 membedakan jenis-jenis matriks,
􀂾 menjelaskan kesamaan matriks, dan
􀂾 menjelaskan transpose matriks.
1. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari, matematika, maupun dalam mata pelajaran lain,
keterangan-keterangan sering kali disajikan dalam bentuk matriks.
Contoh 1
Berikut merupakan contoh keadaan absensi kelas X pada tanggal 22 Januari 2007
“SMK Unggul” di Jakarta.
KEADAAN ABSENSI KELAS X TANGGAL 22 JANUARI 2007
Kelas Sakit (s) Izin (i) Alpha (a)
Kelas X AK1
Kelas X AK2
Kelas X AP1
Kelas X AP2
1
0
0
0
0
0
2
1
2
1
0
3
Jumlah 1 3 6
Apabila pembatas tersebut dihilangkan, maka akan didapatkan susunan elemenelemen
sebagai berikut.
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
1 3 6
0 1 3
0 2 0
0 0 1
1 0 2
Susunan elemen-elemen tersebut biasa disebut dengan matriks.
a. Pengertian Matriks
Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk
persegipanjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan
dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri
tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf.
Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan
elemennya, jika berupa huruf, maka ditulis dengan huruf kecil.
82 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
ke n
kolom
ke 2
kolom
ke 1
kolom
baris ke m
baris ke 2
baris ke 1
a a a a
a a a a
a a a a
A
m1 m2 m3 mn
21 22 23 2n
11 12 13 1n
−
↓
−
↓
−
↓
→ −
→ −
→ −
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
􀀖
􀀗 􀀗 􀀗 􀀗
􀀖
􀀖
Dalam matriks A = [ aij ], dengan i dan j merupakan bilangan bulat yang menunjukkan
baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya a12 artinya elemen baris ke-1 dan kolom ke-2.
Contoh 2
10 3 6 4 0
1 5 3 7 1
4 3 8 3 1
2 0 4 5 2
P
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
− − −
− −
−
=
Dari matriks P di atas dapat dinyatakan bahwa
a. banyaknya baris adalah 4;
b. banyaknya kolom adalah 5;
c. elemen-elemen baris ke-3 adalah 0, -5, 3, -7, -1;
d. elemen-elemen baris ke-4 adalah -10, 3, -6, 4, 0;
e. elemen-elemen kolom ke-1 adalah 2, -4, 1, -10;
f. elemen-elemen kolom ke-4 adalah 5, -3, -7, 4;
g. elemen baris ke-2 dan kolom ke-3 atau a23 adalah 8;
h. elemen baris ke-3 dan kolom ke-5 atau a35 adalah -1.
b. Ordo Matriks
Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom.
Amxn berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah
baris dan n buah kolom.
Contoh 3
Tentukan ordo dari matriks di bawah ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
=
3 1 0 2
2 1 4 8
A b. B = (1 − 5 0)
Jawab:
a. Matriks A terdiri atas 2 baris dan 4 kolom, maka matriks A berordo 2 x 4, atau
ditulis A2x4.
b. Matriks B terdiri atas 1 baris dan 3 kolom, maka matriks B berordo 1 x 3, atau
ditulis H1x3.
BAB III Matriks 83
B = (0 0 0 )
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0 0
0 0
A
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= −
4
1
2
H
M = (2 3) N = (7 − 3 4 10)
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
2 5
4 3
C
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
=
4 6 0
2 1 7
6 3 5
D
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0 1
2 0
C
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
0 0 3
0 1 0
0 0 0
D
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
0 3
1 5
S
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ −
=
0 0 8
0 7 5
2 9 4
B
c. Jenis-Jenis Matriks
1) Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya nol.
Contoh 4
2) Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.
Contoh 5
3) Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.
Contoh 6
4) Matriks Persegi atau Bujur Sangkar
Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
Contoh 7
5) Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal
utamanya tidak semuanya nol.
Contoh 8
6) Matriks Segitiga
Matriks segitiga terdiri atas dua macam, yaitu matriks segitiga atas dan matriks
segitiga bawah. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah
diagonal utama seluruhnya nol.
Contoh 9
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
9
3
P
84 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
4 3
1 0
S
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= −
5 5 9
1 7 0
2 0 0
B
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
2 6
1 3
A
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ − =
2 6
3
3
2
B ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
3 1
6 2
C
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utama
seluruhnya nol.
Contoh 10
7) Matriks Identitas
Matriks identitas merupakan matriks persegi yang semua elemen pada diagonal
utamanya satu dan elemen lainnya adalah nol.
Contoh 11
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0 1
1 0
I 2x2
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
I 3x3
2. Transpose Matriks
Transpose matriks A = (aij) dengan ordo m x n ditulis AT = (aji) dan mempunyai ordo
n x m. Elemen-elemen baris matriks AT diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A
dan sebaliknya.
Contoh 12
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
3 6
2 5
1 4
A maka ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
4 5 6
1 2 3
AT
3. Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang
seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama.
Contoh 13
Matriks A=B karena ordo dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut
sama. Sedangkan A 􀂏 C, walaupun elemennya sama tetapi tidak seletak.
Contoh 14
Tentukan nilai x, y, z, a, b, dan c dari kesamaan dua matriks di bawah ini.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+ − −
=
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛
−
+
+
a 5 b 2 1
3y 4z 4
2x 5 y
c 1
2
b 1
z a 1 4
4 5 2 x
BAB III Matriks 85
Jawab:
􀂃 Elemen baris 1 kolom 1 (a11), 2x = 4
x = 2
􀂃 Elemen baris 1 kolom 3 (a13), 2 + x = y
y = 2 + 2 = 4
􀂃 Elemen baris 2 kolom 1 (a21), z = 3y
z = 3.4 = 12
􀂃 Elemen baris 2 kolom 2 (a22), a + 1 = 4z
a + 1 = 4.12 ⇔ a = 48 – 1 = 47
􀂃 Elemen baris 3 kolom 1 (a31), b = a + 5
b = 47 + 5 ⇔ b = 52
􀂃 Elemen baris 3 kolom 2 (a32),
2
1 c = b – 2
2
1 c = 52-2 ⇔
2
1 c = 50 ⇔ c = 100
Jadi, nilai x = 2, y = 4, z = 12, a = 47, b = 52, dan c = 100
Contoh 15
Tentukan x, y, dan z jika A = B dari matriks-matriks di bawah ini.
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
+
=
6 x 2y
x 1 1
A dan B = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
−
4z 2 5y
2x 2 1
Jawab:
A = B
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
+
4z 2 5y
2x 2 1
6 x 2y
x 1 1
x + 1 = 2x – 2 4z + 2 = 6 x + 2y = 5y
x – 2x = -1 – 2 4z = 6 – 2 3 + 2y = 5y
-x = -3 4z = 4 3 = 5y – 2y
x = 3 z = 1 3 = 3y
y = 1
B. Rangkuman Macam-Macam Matriks
1. Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk
persegipanjang yang diatur dalam baris dan kolom.
2. Suatu matriks A yang memiliki m baris dan n kolom berarti matriks A berordo m x n
3. Transpose matriks A dengan ordo m x n ditulis AT dan mempunyai ordo n x m.
Elemen-elemen baris matriks AT diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan
sebaliknya.
4. Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen
yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama.
86 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
1. Diberikan suatu matriks
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− − −
−
− −
=
2 1 6 5 13
4 2 8 6 4
1 4 3 0 10
1 5 6 7 3
M
a. Berapakah banyaknya baris?
b. Berapakah Banyaknya kolom?
c. Tuliskan elemen-elemen baris ke-2.
d. Tuliskan elemen-elemen baris ke-4.
e. Tuliskan elemen-elemen kolom ke-3.
f. Tuliskan elemen-elemen kolom ke-1.
g. Sebutkan elemen baris ke-2 kolom ke-3.
h. Sebutkan elemen baris ke-4 kolom ke-5.
i. Nyatakan nama untuk elemen-elemen -3, 10, 4, 13.
j. Nyatakan nama untuk elemen-elemen 1, 4, -3, 0, 10.
k. Nyatakan nama untuk elemen 13.
l. Nyatakan nama untuk elemen -8.
2. Buatlah matriks sembarang yang mempunyai ketentuan sebagai berikut.
a. Mempunyai satu baris dan tiga kolom.
b. Mempunyai tiga baris dan dua kolom.
c. Mempunyai empat baris dan satu kolom.
3. Tuliskan ordo dari matriks-matriks berikut.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
2 0
10 6
A c.
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
8 4
1 0
4 6
2 1
A
b.
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
=
4
5
9
2
A d. A = (− 2 1 4)
4. Tentukan transpose dari matriks-matriks pada soal nomor 3 di atas.
5. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan-persamaan matriks di bawah ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+ 3
9
y 1
3x
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
−
1
7
x y
2x y
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 4
6 x
2y 2
2x
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
+ +
x 3 0
2 10
2y 0
x 1 6z y
BAB III Matriks 87
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
−
8
5 x
4y 4
2x 1
f. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+ −
− +
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
+ +
x 3 30
3 x 2y
2y 5 30
2x 3 6z y
6. Tentukanlah nilai x, y, z, a, dan b dari persamaan matriks di bawah ini.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
+
2 2z 3
x 6 8
4 y 1 5
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
2 b 3
3a 2z 2 8
2y x 5
7. Jika A = BT dimana
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
0 1 1
1 0 0
0 1 1
A dan
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− +
+
=
y 2w 0 1
x y 0 z 3
x y 1 0
B
Tentukanlah w, x, y, dan z.
C. Operasi pada Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
􀂾 menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks dan
perkalian matriks dengan matriks;
􀂾 menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian matriks.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila
ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah atau selisih didapat
dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari
kedua matriks tersebut.
Contoh 16
Diketahui:
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
=
1 6 1
5 4 2
A , ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
=
6 4 3
2 5 5
B dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
2 8
0 1
C
A + B = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− + + − + −
+ − + − + −
5 10 4
3 9 7
1 6 6 4 1 ( 3)
5 ( 2) 4 5 2 ( 5)
A – B = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− − − − −
− − − − − −
7 2 4
7 1 3
1 6 6 4 1 3
5 ( 2) 4 5 2 ( 5)
A + C tidak dapat dijumlahkan, karena ordo kedua matriks tersebut tidak sama.
Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat operasi
penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut:
a. A + (B + C) = (A + B) + C sifat asosiatif,
b. A + B = B + A sifat komutatif,
c. A(B + C) = AB + AC sifat distributif,
88 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
d. A(B – C) = AB – AC,
e. A + 0 = 0 + A = A,
f. terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.
2. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan Skalar (k)
Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang
didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k.
Contoh 17
Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
0 6
2 4
A maka
4A = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⋅ ⋅ −
⋅ − ⋅
0 24
8 16
4 0 4 ( 6)
4 ( 2) 4 4
-2A = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⋅ − ⋅ −
− ⋅ − − ⋅
0 12
4 8
2 0 2 ( 6)
2 ( 2) 2 4
4A + 3A = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
0 42
14 28
0 18
6 12
0 24
8 16
0 6
2 4
3
0 6
2 4
4
Contoh 18
Tentukan a, b, dan c jika diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
1 0
2 3
P , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
b 4
a c 2
Q , dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
3 8
2 1
R
sehingga berlaku P – 2Q = R.
Jawab:
P – 2Q = R
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−1 0
2 3
– 2 ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
b 4
a c 2
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
3 8
2 1
-2 ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
b 4
a c 2
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
3 8
2 1
– ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−1 0
2 3
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 8
0 4
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
b 4
a c 2
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
−
2 8
0 4
2
1 = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1 − 4
0 2
dari persamaan matriks tersebut didapat
a = 0
b = 1
c – 2 = 2 ⇔ c = 4
Contoh 19
Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini.
a. 4X – ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 6
1 2
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 2 − 2
7 14
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5 1
2 0 +
2
1 X = 2 ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
0 4
3 1
BAB III Matriks 89
Jawab:
a. 4X – ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 6
1 2
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 2 − 2
7 14
4X = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 2 − 2
7 14
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 6
1 2
4X = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 − 8
8 12
X = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 0 2
2 3
0 8
8 12
4
1
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5 1
2 0 +
2
1 X = 2 ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
0 4
3 1
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5 1
2 0 +
2
1 X = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
0 8
6 2
2
1 X = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
0 8
6 2
– ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5 1
2 0
2
1 X = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− 5 7
4 0
X = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−10 14
8 0
Untuk setiap skalar k1 dan k2, dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama
dan AB terdefinisi, berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar sebagai berikut:
a. (k1 + k2) A = k1 A + k2 A
b. (k1 – k2) A = k1 A – k2 A
c. (k1 k2) A = k1(k2 A)
d. k1(A B) = (k1 A) B
e. k1(A + B) = k1 A + k1 B
f. k1(A – B) = k1 A – k1 B
b. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A
dan B adalah sebuah matriks C = A ⋅B yang berordo m x p, didapat dengan cara
mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B.
Jika matriks A berordo m x n dan B berordo p x q dimana n ≠ p maka A ⋅B tak
terdefinisi. Perhatikan ilustrasi kartu domino pada Gambar 3-2 untuk perkalian dua
mariks yang berordo masing-masing 2 x 4 dan 4 x 1.
90 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Syarat dua matriks
Dapat dikalikan
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
⋅ =
1 4 2
3 1 0
3 5
2 1
A B
2 x 4 4 x 1
Hasil kali kedua matriks dengan ordo 2 x 1
Contoh 20
Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
3 5
2 1
A dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
1 4 2
3 1 0
B , tentukan A ⋅B
Jawab:
Matriks A berordo 2 x 2 dan B berordo 2 x 3, hasil kali A ⋅B adalah matriks yang
berordo 2 x 3. Perhatikan ilustrasi di bawah ini.
= - 2 ⋅ (−1) +1⋅ 4 = 6adalah entri baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks A yang
diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-1 matriks sebelah kiri
(matriks A) dengan elemen-elemen kolom ke-2 matriks sebelah kanan (matriks B)
kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya untuk mengisi kotak-kotak
tersebut.
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
=
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −
− ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
14 17 10
5 6 2
3 3 5 1 3 1 5 4 3 0 5 2
2 3 1 1 2 1 1 4 2 0 1 2
1 4 2
3 1 0
3 5
2 1
A.B
Contoh 21
Diketahui matriks ,
0 3
1 2 A ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
= ⎛−
0 6
B 1 2 dan
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
6
1
3
C
Tentukan a. A ⋅B b. B ⋅ A c. A ⋅C d. Apakah A ⋅B = B ⋅ A .
Jawab:
a. ⋅ A B = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 1 3 0 0 2 3 6
2 1 1 0 2 2 1 6
0 6
1 2
0 3
2 1
= ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
0 18
2 10
b. A B ⋅ = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
0 2 6 0 0 1 6 3
1 2 2 0 1 1 2 3
0 3
2 1
0 6
1 2
= ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
0 18
2 5
Gambar 3-2 Contoh perkalian matriks
BAB III Matriks 91
c. ⋅ A C = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
0 3
2 1
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
6
1
3
= Tidak dapat diselesaikan karena kolom matriks pertama
(sebelah kiri) dengan banyaknya baris matriks kedua (sebelah kanan) tidak sama.
d. Dari hasil penyelesaian a dan b di atas, ternyata A ⋅B ≠ B ⋅ A . Jadi, perkalian tidak
komutatif.
Contoh 22
Tentukan hasil kali dari matriks-matriks di bawah ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
5
2
1 0
2 3
b. ( ) ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
−
1 4
2 3
6 2 c. ( )
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
5
6
3
1 2 5
Jawab:
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⋅ − + ⋅
− ⋅ − + ⋅
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2
19
1 ( 2) 0 5
2 ( 2) 3 5
5
2
1 0
2 3
b. ( ) (6 2 ( 2) ( 1) 6 ( 3) ( 2) 4) (14 26)
1 4
2 3
2 6 − = ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
−
c. ( ) (1 3 2 6 5 ( 5)) (3 12 25) ( 34)
5
6
3
1 2 5 = ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = − − = −
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
Contoh 23
Ibu Ahmad berbelanja di Toko ”Sembako Sejahtera” sebanyak 5 kg beras dengan
harga Rp6.000,00 per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan 3 liter
minyak goreng dengan harga Rp9.000,00 per liter. Ibu Susan berbelanja barang yang
sama di toko yang sama dengan kuantitas 10 kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak
goreng.
Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan tentukan jumlah
yang harus dibayar oleh Ibu Ahmad dan Ibu Susan.
Jawab:
Persoalan di atas jika disajikan dalam bentuk
Matriks adalah sebagai berikut
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
9.000
7.000
6.000
10 8 2
5 4 3
S
A
Keterangan A = Ibu Ahmad dan S = Ibu Susan
Jumlah yang harus dibayar Ibu Ahmad dan
Ibu Susan adalah:
Gambar 3-3 Toko kehidupan sehari-hari
www.jakarta.go.id
92 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
9.000
7.000
6.000
10 8 2
5 4 3
S
A
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+ +
+ +
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
134.000
85.000
10x6.000 8x7.000 2x9.000
5x6.000 4x7.000 3x9.000
S
A
Jadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Ahmad adalah Rp85.000,00 dan Ibu Susan adalah
Rp134.000,00.
D. Rangkuman Operasi pada Matriks
1. Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila
ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah (selisih) didapat
dengan cara menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen yang seletak dari
kedua matriks tersebut.
2. Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks
yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan
skalar k.
3. Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama
sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
4. Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali
antara A dan B adalah sebuah matriks C = A ⋅B yang berordo m x p, didapat
dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom
matriks B.
1. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
1 6
2 3
P , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
8 2
2 5
Q dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
4 2
5 1
R
Tentukanlah
a. P + R d. RT + Q g. QT – P
b. (Q + P) + R e. P – (Q + R) h. (P + Q) + (P + R)
c. (Q + R – P)T f. PT – R i. P – Q – RT
2. Hitunglah hasil operasi matriks berikut ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
−
−
+ ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
5 1
4 2
2 5
1 3
d. (8 − 4)+ (7 −10)
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
0 4
2 1
2 4
5 5
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
3 1
1 4
5 3
7 4
2
0 6
3 1
3
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
9
6
7
5
f. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
8 6
7 2
2 4
1 5
4
0 7
4 1
2
BAB III Matriks 93
3. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
=
4 5
2 1
P , tentukanlah
a. 2P c.
2
1 P e. -2P + 8P
b. -4P d. 5P – 3P f. P – 5P
4. Tentukan hasil kali dari kedua matriks di bawah ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 3
4
2 4
3 1
c. . (2 5 0 4)
4
1
2
−
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− e.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
2 5
0 3
9 1
.
8 1 10
5 2 4
1 2 6
2 3 7
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 5
0 1
.
5 1
9 2
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 3 4
0 6
.
1
2
f. ( )
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
2
10
1
2 1 8 .
5. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
1 5
2 1
A , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
0 4
3 4
B dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
2 2
4 3
C
Tentukanlah matriks-matriks berikut.
a. A B d. A B g. A2
b. A (CT + B) e. (AT – C) B h. A2 + C2
c. (A + B)(A – B) f. A BT i. A2 – B2 + C2
6. Tentukan matriks X dari
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
+
12 7
3 1
4 5
5 3
4X c.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
− −
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
+ − −
0 2 2
2 6 4
4 6 7
8 2 4
2 0 5
0 4 3
2X
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
10 6
2 4
2X
4 8
0 2
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
−
12 4
4 2
2
2 6
1 3
5X 3
7. Diberikan
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
=
3 1 2
2 0 3
1 1 1
A ,
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
=
1 4
0 2
1 3
B dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
2 0 1 1
1 2 3 4
C , tunjukkanlah
bahwa ( A ⋅B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) .
8. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛ =
2 4 2
1 2 0
A dan
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
= −
1 4
1 2
4 3
B , tentukanlah!
a. A ⋅B c. B ⋅ A e. A T ⋅B T
b. (B ⋅ A )T d. BT ⋅ AT f. ( A ⋅B )T
9. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
2 4
1 3
A , carilah f(A) = 2A2 – 4A + 5I (I matriks identitas)
94 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
10. Diketahui
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
−
=
2 1 0
3 2 1
1 1 1
A dan
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
=
1 2 1 2
2 1 1 1
1 4 1 0
B .
Periksalah apakah A ⋅B = 0
11. Carilah a, b, c, dan d dari persamaan-persamaan berikut.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
+ +
4 5
0 3
3 2
2 1
c 3 2d 2
a 3 2b 1
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− +
+ −
8 7
0 6
2
1 4
a 5 3
c 4a 2d b
2a 3 2b 2
12. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
21 2
14 17
z 4
4 1
x y
3 5 4
6 1 0
, tentukanlah nilai x, y, dan z.
13. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
1 2
3 2
A , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
5 6
1 7
B , dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
6 8
0 10
C . Tentukanlah !
a. 2A + 3B c. 4( A + BT + C) e. AB + BC – (AC)T
b. 3A – 6B d. 5A – B + 3C f. B(A + 3C)T
14. Tentukan nilai a, b, c dan d dari persamaan berikut ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
9 6
3 1
5 0
2 1
b d
a c
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− +
+
− ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 6 8
2 8
5 b b 2b
2a 3c 2
4 1
6 0
15. Budi membeli di toko alat-alat tulis, 8 buku dengan harga @Rp4.500,00, 12 pensil
dengan harga @Rp2.250,00, dan 5 pulpen dengan harga @Rp5.000,00. Ani
membeli barang yang sama di toko yang sama dengan kuantitas 12 buku, 8 pensil
dan 2 pulpen. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan
tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Budi dan Ani.
16. Perusahaan bus mengatur suatu rute perjalanan busnya dari kota P ke kota T
melalui kota Q atau R atau S.
Dari kota P ke Q, R dan S berturutturut
terdapat 2 rute, 5 rute dan 3
rute sedangkan dari Q, R, dan S ke T
berturut-turut terdapat 1 rute, 6 rute
dan 4 rute. Sederhanakan persoalan di
atas dalam bentuk perkalian matriks
dan tentukan jumlah rute yang dapat
ditempuh dari kota P ke T.
Gambar 3-4 Bus
Dokumentasi penulis
BAB III Matriks 95
E. Determinan dan Invers Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 menentukan determinan dan invers matriks ordo 2,
􀂾 menentukan minor, kofaktor dan adjoin matriks,
􀂾 menentukan determinan dan invers matriks ordo 3, dan
􀂾 menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.
1. Determinan Matriks Ordo Dua
Misal ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
c d
a b
A , maka determinan A ( det(A) ) adalah det(A) = ad bc
c d
a b
= −
Contoh 24
Tentukan determinan matriks-matriks berikut.
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
4 3
5 2
P dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
6 4
3 2
Q
Jawab:
5 3 ( 4) ( 2) 7
4 3
5 2
|P | = ⋅ − − ⋅ − =
−
−
= dan
3 4 ( 6) 2 12 12 0
6 4
3 2
| Q| = − ⋅ − − ⋅ = − + =
−
−
=
Contoh 25
Jika 2x 3
5 1
3x 2
= −
−
, tentukanlah harga x yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawab:
2x 3
5 1
3x 2
= −
−
3x – (-10) = 2x – 3
3x + 10 = 2x – 3
3x – 2x = -3 – 10
x = -13
2. Determinan Matriks Ordo Tiga
Misalkan matriks persegi dengan ordo tiga diberikan di bawah ini
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
A , determinan dari matriks A adalah
det(A) = | A |=
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
96 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Banyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo
3 x 3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan
Sarrus. Dengan langkah-langkah sebagai berikut.
􀂙 Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal dari
determinan.
􀂙 Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil
kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian
dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal
samping.
Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus di bawah ini.
– – –
31 32
21 22
11 12
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
det(A) =
+ + +
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)
Contoh 26
Tentukan determinan dari matriks
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
=
1 4 0
0 5 4
1 2 3
M
Jawab:
| M | =
1 4
0 5
1 2
1 4 0
0 5 4
1 2 3 −
−
− −
=(−1⋅5 ⋅ 0 + 2 ⋅ (−4) ⋅1 + (−3) ⋅ 0 ⋅ 4) − (1⋅5 ⋅ (−3) + 4 ⋅ (−4) ⋅ (−1) + 0 ⋅ 0 ⋅ 2)
= (0 – 8 + 0) – (-15 + 16 + 0)
= -8 – 1
= -9
Contoh 27
Determinan matriks
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
−
=
3x 2 5
1 2 4
x 1 1 3
Q adalah 5, tentukan nilai x
Jawab:
| Q | = (x – 1) ⋅ 2 ⋅5 +1⋅ (−4) ⋅ 3x +3 ⋅ (−1) ⋅ 2 – 3x ⋅ 2 ⋅ 3 – 2 ⋅ (−4) ⋅ (x – 1) – 5 ⋅ (−1) ⋅1
= (x – 1)10 – 12x – 6 – 18x + 8(x – 1) + 5
= 10x – 10 – 12x – 6 – 18x + 8x – 8 + 5
= -12x – 19
| Q | = 5
-12x – 19 = 5
-12x = 5 + 19
-12x = 24 ⇔ x = -2
BAB III Matriks 97
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
= ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1 2
4 5
C C
C C
21 22
11 12
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
=
5 2
4 1
1 2
4 5
Adj (A )
T
3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin
Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen aij dinyatakan
oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i
dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dinamakan
kofaktor entri aij.
Jika A adalah sembarang matriks persegi (n x n) dan Cij adalah kofaktor aij, maka
matriks
C C C C
C C C C
C C C C
n1 n2 n3 nn
21 22 23 2n
11 12 13 1n
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
􀀖
􀀗 􀀗 􀀗 􀀗
􀀖
􀀖
disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan
dinyatakan dengan Adj (A).
Contoh 28
Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
5 4
2 1
A
Jawab:
Minor dari matriks A adalah
M11= 4 M21 = 1
M12 = 5 M22 = -2
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = (-1)1+1 M11= (1) 4 = 4 C21 = (-1)2+1 M21 = (-1) 1 = -1
C12 = (-1)1+2 M12= (-1) 5 = -5 C22 = (-1)2+2 M22 = (1)(-2) = -2
Matriks kofaktornya adalah
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga
Contoh 29
Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
4 2 3
1 4 1
2 0 5
A
Jawab:
Minor dari matriks tersebut adalah:
M11 =
2 3
4 1
−
−
= 4⋅ 3 – (-2 ) ⋅ (-1) = 10 M23 =
4 2
2 0
−
−
= -2⋅ ( -2) – 4⋅ 0 = 4
98 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
M12 =
4 3
1 −1
= 1⋅ 3– 4 ⋅ (-1) = 7 M31 =
4 1
0 5
−
=0 ⋅ (-1) – 4⋅5 = -20
M13 =
4 2
1 4
−
= 1⋅ (-2) – 4 ⋅4 = -18 M32 =
1 1
2 5
−
−
= - 2 ⋅ (-1) – 1⋅5= -3
M21 =
2 3
0 5
−
= 0 ⋅ 3 – (-2) ⋅ 5 = 10 M33 =
1 4
− 2 0
= -2⋅ 4 – 1⋅ 0 = -8
M22 =
4 3
− 2 5
= -2⋅ 3– 4⋅5= -26
Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah
C11 = (-1)1+1 M11= (1) ⋅10 = 10 C23 = (-1)2+3 M23= (-1 ) ⋅ 4 = -4
C12 = (-1)1+2 M12= (-1) ⋅ 7 = -7 C31 = (-1)3+1 M31= (1 ) ⋅ (-20) = -20
C13 = (-1)1+3 M13= (1 ) ⋅ (-18) = -18 C32 = (-1)3+2 M32= (-1 ) ⋅ (-3) = 3
C21 = (-1)2+1 M21= (-1) ⋅10 = -10 C33 = (-1)3+3 M33= (1 ) ⋅ (-8) = -8
C22 = (-1)2+2 M22= (1 ) ⋅ (-26) = -26
Matriks kofaktornya adalah
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
− − −
− −
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
20 3 8
10 26 4
10 7 18
C C C
C C C
C C C
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− − −
− −
− −
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
− − −
− −
=
18 4 8
7 26 3
10 10 20
20 3 8
10 26 4
10 7 18
Adj (A)
T
4. Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil
kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan
sebaliknya, yaitu B = A -1 atau A = B -1.
Contoh 30
Dari ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
3 5
4 7
P dan ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
3 4
5 7
Q , tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers.
Jawab:
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− + −
− + −
= ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⋅ =
0 1
1 0
15 15 21 20
20 21 28 28
3 4
5 7
3 5
4 7
P Q dan
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− + −
− + −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
−
−
⎟ ⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⋅ =
0 1
1 0
12 12 21 20
20 21 35 35
3 5
4 7
3 4
5 7
Q P
Karena PQ = QP = I , maka P =Q –1 dan Q = P –1 .
Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah:
adj (A)
det(A)
A−1 = 1
BAB III Matriks 99
Contoh 31
Tentukan invers dari ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
c d
a b
A
Jawab:
Determinan A (det(A)) adalah det (A) = ad bc
c d
a b
= −
Minor dari A adalah
M11 = | d | = d M21 = | b | = b
M12 = | c | = c M22 = | a | = a
Kofaktor dari A adalah
C11 = (-1)1+1 M11 = d C21 = (-1)2+1 M21 = -b
C12 = (-1)1+2 M12 = -c C22 = (-1)2+2 M22 = a
Matriks kofaktor ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
b a
d c
sedangkan matriks adjoin
adj (A) = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
−
−
c a
d b
b a
d c T
Invers matriks A adalah
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
−
− = =
c a
d b
ad bc
adj (A) 1
det (A)
A 1 1
Contoh 32
Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh 31 di atas, tentukan invers dari:
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
2 4
4 7
A b.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
4 2 3
1 4 1
2 0 5
A
Jawab:
a. Det(A) = -4⋅ 4 – (-2) ⋅ 7 = -16 + 14 = -2 sehingga:
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
−
− = =
1 2
2
1
2 3
2 4
4 7
2
1
.Adjoin A
det(A)
A 1 1
b. Det(A) = (-2⋅ 4 ⋅ 3+ 0 ⋅ (−1) ⋅ 4 + 5 ⋅1⋅ (-2)) – ( 4 ⋅ 4 ⋅5+ (-2 ) ⋅ (-1 ) ⋅ (-2) +3 ⋅1⋅ 0 )
= (-24 – 0 – 10) – (80 – 4 + 0) = -34 – 76 = -110
Adjoin (A)
det(A)
A 1 1 ⋅ − = (dari Contoh 29 diperoleh Adj (A))
110
A 1 − 1 − =
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− − −
− −
− −
18 4 8
7 26 3
10 10 20
100 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Catatan
• Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0,
matriks seperti ini disebut matriks nonsingular, sedangkan matriks yang harga
determinannya = 0 disebut matriks singular .
• Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, maka berlaku sifat
􀂃 (A–1)–1 = A
􀂃 (A x B)–1 = B–1 x A–1
Contoh 33
Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks nonsingular
a. A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 6
4 2 b. B = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− −
−
5
4
2
10
Jawab:
a. det (A) = 2 ⋅ 6 – 3 ⋅4 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks
singular
b. det (B) = 4 ⋅ (-5) – (-2 ) ⋅ (-10) = -20 – 20 = -40, karena determinannya tidak 0
maka disebut matriks nonsingular
Contoh 34
Diketahui matriks A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 7
5 2 dan B = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5 16
1 3 , tentukan matriks dari:
a. (AB)–1 b. B–1 ⋅ A –1
Jawab:
a. AB = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 7
2 5
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5 16
3 1 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+ +
+ +
3 35 9 112
80 6 25 2 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
38 121
27 86
(AB)–1 = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
− 38 27
121 86
38 27
121 86
27 x 121 38 x 86
1
b. A–1 = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
− 3 2
7 5
3 2
7 5
2 x 7 3 x 5
1
B–1 = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
− 5 1
16 3
5 1
16 3
1 x 16 3 x 5
1
B–1 .A–1 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
−
−
5 1
16 3
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
3 2
5 7 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+ − −
− − +
35 3 25 2
112 9 80 6
= ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
38 27
121 86
Ternyata, dari jawaban a dan b pada contoh soal di atas, diperoleh kesimpulan
(A x B) –1 = B –1 x A –1
BAB III Matriks 101
1. Hitunglah determinan matriks berikut.
a.
3 2
1 − 2
c.
0 2
3 4
−
e.
7 6
5 −1
b.
2 6
− 3 − 9
d.
5 2,5
− 4 − 2
f.
1 3
0 4
−
2. Tentukan determinan dari matriks ordo 3 di bawah ini.
a.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
−
4 3 1
0 2 1
1 1 0
c.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
4 0 2
0 5 0
1 2 1
e.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
5 1 1
1 0 1
2 2 0
b.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
−
2 0 1
1 6 2
2 2 4
d.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
−
− −
2 3 4
2 4 1
2 1 2
f.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
4 2 0
1 2 4
1 2 3
3. Tentukan nilai x dari persamaan di bawah ini.
a. 0
x 4
3 2
= c. 7x
5 4
2x 3
=
− −
e. 4 3x
4 2x 1
1 x 2
= −
+
− −
b. 0
0 0 5
2 1 1
x2 x 2
=
−
d. x 2
0 0 1
0 1 1
x2 x 2
= + f. 2x 5
4 0 5
2 1 1
x 1 x 2
= +
−
−
4. Tunjukkan bahwa matriks-matriks di bawah ini saling invers.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
2 3
3 5
dan
2 3
3 5
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1 4
1 3
dan
1 1
4 3
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
4 3
9 7
dan
4 9
3 7
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
− −
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
−
−
5 6
4 5
dan
5 4
6 5
5. Carilah minor, matriks kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks di bawah ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 − 2
3 4
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
4 6
1 3
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
7 6
5 4
6. Carilah minor, kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks pada soal nomor 2.
7. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
1 1
1 2
dan Q
1 2
2 3
P , tentukan
a. P –1 e. (P ⋅Q) –1
b. Q–1 f. (Q⋅ P) –1
c. P–1 Q–1 g. Apakah (P ⋅Q) –1 = Q–1 P–1
d. Q–1 P–1 h. Apakah (Q⋅ P) –1 = P–1 Q–1
102 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
8. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 − 5
3 2 c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 2 − 6
3 3
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
1 2
2 1 d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 0,5 cos x
sin x 2
2
2
5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier dua atau tiga variabel selain dengan menggunakan eliminasi
dan substitusi dapat juga digunakan invers dan kaidah Cramer untuk mencari
himpunan penyelesaiannya.
Beberapa langkah yang perlu diperhatikan untuk mencari himpunan penyelesaian
sistem persamaan linier dengan menggunakan invers, adalah sebagai berikut.
􀂙 Tulislah sistem persamaan dalam bentuk matriks.
􀂙 Nyatakan bentuk tersebut ke dalam perkalian matriks koefisien dengan matriks
variabelnya.
a11x + a12y = c1
a21x + a22y = c2
􀀬 􀀬C
c
c
X
y
x
A
a a
a a
2
1
21 22
11 12
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
􀀉􀀌􀀊􀀌􀀋
persamaan matriks berbentuk A ⋅X = C
􀂙 Kalikan kedua ruas dengan invers A atau A–1, sehingga menjadi
A–1 A X = A–1C
I X = A–1C
X = A–1C
Untuk persamaan yang berbentuk X⋅ A = C, maka untuk mendapatkan X, kalikan
kedua ruas dengan A-1 dari sebelah kanan, sehingga didapat
X⋅ A ⋅A –1 = C A–1
X I = C A–1
X = C A–1
Contoh 35
Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan
4x – 5y = -2
-3x + 4y = 4
Jawab:
Sistem persamaan
⎩ ⎨ ⎧
− + =
− = −
3x 4y 4
4x 5y 2
jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
⎟ ⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
4
2
y
x
3 4
4 5
perkalian matriks tersebut berbentuk A ⋅X = C dengan
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
4
2
dan C
y
x
X
3 4
4 5
A
BAB III Matriks 103
3 4
4 5
3 4
4 5
1
1
3 4
4 5
4 4 ( 3) ( 5)
1
A 1
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⋅ − − ⋅ −
− =
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− +
− +
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
10
12
6 16
8 20
4
2
3 4
4 5
y
x
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(12, 10)}.
Di samping menggunakan cara invers dapat juga penyelesaian sistem persamaan linier
dicari dengan menggunakan kaidah Cramer.
Jika A ⋅X = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linier dan
n variabel yang tidak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai
penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian tersebut adalah
det (A)
det (A )
,. x
det (A)
det (A )
, x
det (A)
det (A )
x n
n
2
2
1
1 = = 􀀖 =
dimana Aj adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam
kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
􀀗
2
1
c
c
C
Contoh 36
Gunakan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan
berikut ini.
3x – 5y = 11
2x + y = 3
Jawab:
Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
3
11
y
x
2 1
3 5
, dari
bentuk ini didapat.
3 1 2 ( 5) 13
2 1
3 5
dan det (A)
2 1
3 5
A = ⋅ − ⋅ − =
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
11 1 3 ( 5) 11 15 26
3 1
11 5
dan det (A )
3 1
11 5
A 1 1 = ⋅ − ⋅ − = + =
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
3 3 2 11 13
2 3
3 11
dan det (A )
2 3
3 11
A 2 2 − = ⋅ − ⋅ = = ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
sehingga 1
13
13
det (A)
det (A )
2 dan y
13
26
det (A)
det (A )
x 1 2 = −
−
= = = = =
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah {(2, -1)}
104 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Contoh 37
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan menggunakan kaidah Cramer.
x + 2z = 7
-3x + 4y + 6z = 7
-x – 2y + 3z = 12
Jawab:
Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
−
12
7
7
z
y
x
1 2 3
3 4 6
1 0 2
,
dari bentuk ini didapat
12 0 12 8 12 0 44
2
4
0
1
3
1
1 2 3
3 4 6
1 0 2
, det (A)
1 2 3
3 4 6
1 0 2
A = + + + + − =
− −
−
− −
= −
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
= −
84 0 28 96 84 0 44
2
4
0
12
7
7
12 2 3
7 4 6
7 0 2
, det (A )
12 2 3
7 4 6
7 0 2
A 1 1 = + − − + − =
− −
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
=
21 42 72 14 72 63 88
12
7
7
1
3
1
1 12 3
3 7 6
1 7 2
, det (A )
1 12 3
3 7 6
1 7 2
A 2 2 = − − + − + = −
−
−
−
= −
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= −
48 0 42 28 14 0 132
2
4
0
1
3
1
1 2 12
3 4 7
1 0 7
, det (A )
1 2 12
3 4 7
1 0 7
A 3 3 = + + + + − =
− −
−
− −
= −
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
= −
Dengan demikian,
3
44
132
det (A)
det (A )
2 dan z
44
88
det (A)
det (A )
1, y
44
44
det (A)
det (A )
x 1 2 = − = 3 = =
−
= = = = =
Contoh 38
Tentukanlah matriks P dari persamaan matriks di bawah ini:
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⋅ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
1 2
4 0
P
3 5
2 3
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⋅
2 3 5
1 1 0
3 1
2 1
P
Jawab:
a. Dari ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⋅ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
1 2
4 0
P
3 5
2 3
diperoleh persamaan:
A ⋅P = B, sehingga P = A–1 ⋅B
P = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− + − − 1 2
4 0
3 2
5 3
10 9
1
P = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− −
= ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− + −
− − +
10 4
17 6
12 2 0 4
20 3 0 6
b. Dari ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⋅
2 3 5
1 1 0
3 1
2 1
P diperoleh persamaan matriks
P⋅ A = B, sehingga P = B ⋅A–1
BAB III Matriks 105
Dari persamaan P = B ⋅A–1, diperoleh banyaknya kolom matriks B tidak sama dengan
banyaknya baris matriks A–1. Dengan demikian B ⋅A–1 tidak dapat diselesaikan. Oleh
karena itu, tidak ada matriks P dari persamaan matriks di atas.
Contoh 39
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos
yang sama adalah Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan 5 kaos.
Jawab:
Persoalan di atas diterjemahkan dalam bentuk model matematika dengan memisalkan
harga tiap baju x dan harga tiap kaos y, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai
berikut.
3x + 2y = 280.000
x + 3y = 210.000
Sistem persamaan
⎩ ⎨ ⎧
+ =
+ =
x 3y 210.000
3x 2y 280.000
jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
210.000
280.000
y
x
1 3
3 2
perkalian matriks tersebut berbentuk A ⋅X = C dengan
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
210.000
280.000
dan C
y
x
X
1 3
3 2
A
1 3
3 2
7
1
1 3
3 2
3 3 1 2
1
A 1
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⋅ − ⋅
− =
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛ = ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− +
+
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
50.000
60.000
350.000
420.000
7
1
1 x 280.000 3 x 210.000
3 x 280.000 (-2) x 210.000
7
1
210.000
280.000
1 3
3 2
7
1
y
x
Harga 6 baju dan 5 kaos =( ) (6 x 60.000 5 x 50.000)
50.000
60.000
5 6 + = ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ( 550.000 )
Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp550.000,00.
F. Rangkuman Determinan dan Invers Matriks
1. Jika ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
c d
a b
A maka det(A) = ad bc
c d
a b
= −
2. Jika
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
A , maka
106 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
– – –
31 32
21 22
11 12
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
det(A) =
+ + +
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12
3. Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor dinyatakan oleh Mij dan
didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan
kolom ke-j dicoret dari A. Sedangkan Cij = (-1)i+j Mij dinamakan kofaktor. Transpose
matriks kofaktor A disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj (A).
4. Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sedemikian sehingga hasil
kali A⋅B = B ⋅ A= I, dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan
sebaliknya, yaitu B = A –1 atau A = B –1 .
5. Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah
adj (A)
det(A)
A−1 = 1
6. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0,
matriks seperti ini disebut matriks nonsingular, sedangkan matriks yang harga
determinannya = 0 disebut matriks singular .
7. Pada invers matriks berlaku
• (A–1)–1 = A
• (A x B)–1 = B–1 x A–1
• Jika A⋅B = I, maka B = A– 1
• Jika A ⋅X = B maka X = A– 1 ⋅B
• Jika X⋅ A = B maka X = B ⋅ A−1
8. Jika AX = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linear
dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut
mempunyai penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian tersebut adalah
det (A)
det (A )
,. x
det (A)
det (A )
, x
det (A)
det (A )
x n
n
2
2
1
1 = = 􀀖 =
dimana Aj adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam
kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks C.
Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers
1. 3x + 8y = -7 4. y = 8 – 2x
x – 4y = 11 5x – 3y = 31
BAB III Matriks 107
2. x – 2y = -12
5x + 4y = 10 5. y = -3x – 11
y = 0,5x + 3
3. 4x + y = -19
-2x + y = 11
Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan berikut.
6. x – 4y = 8 9. x – 3y + z = 10
2x + y = -2 2x – y = 4
4x – 3z = -5
7. 3x + y = 8
2x + 2y = 4 10 . x + y – z = -1
x – y + z = 4
8. x + 3y = -11 x – y – z = 1
2x – 6y = 14
11. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⋅ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
1
7
X
4 3
2 1
d. ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⋅
4 7
3 2
1 1
6 5
X
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⋅ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− − 6 1
4 5
X
3 2
2 1
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
= ⋅ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
2 3 5
1 4 0
X
3 2
2 1
c. ( 3 24)
1 2
0 6
X − − = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
⋅ f. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
= ⋅ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− − 3 0 1
1 2 1
X
1 19
2 37
12. Carilah x dan y dari persamaan berikut ini.
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− +
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
7
25
y 1
x 2
5 2
3 4
b. ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− +
−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
10
20
y 2
2x 4
1 2
4 3
13. Seorang pedagang menjual dua jenis komoditas campuran. Komoditas jenis
pertama merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B,
sedangkan komoditas jenis kedua merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan
50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama Rp100.000,00 dan jenis kedua
Rp170.000,00.
a. Bentuklah matriks dari pernyataan tersebut.
b. Selesaikanlah perkalian matriks untuk mendapatkan harga masing-masing
kualitas per kilogram.
14. Lima meja dan delapan kursi berharga $115, sedangkan tiga meja dan lima kursi
berharga $70. Tentukan harga 6 meja dan 10 kursi.
108 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
A. Soal Pilihan Ganda
Pilihlah satu jawaban a, b, c, d atau e yang dianggap benar
1. Diketahui matriks ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
1 4 2
2 1 3
A dan matriks
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
=
3 2
1 2
1 3
B maka A ⋅B = . . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
3 15
6 2
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 7
6 3
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
3 6
15 2
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
3 7
6 2
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
3 6
15 2
2. Diketahui matriks ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
2 1
3 4
A , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
=
1 5
3 2
B dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
=
2 1
5 4
C
maka 2A – B + 2C = . . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−1 − 6
9 6
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−1 − 6
24 6
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1 − 5
19 2
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
1 6
24 6
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 6 − 6
15 6
3. Diketahui matriks ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
=
1 1
2 3
A dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
10 5
0 5
B dan X⋅ A = B.
Matriks X adalah . . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
4 1
6 2
c. ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−1 8
1 2
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
4 3
6 2
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
3 − 4
1 2
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
20 5
6 10
4. Jika ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
2 2
3 5
A dan A⋅B = I, dengan I matriks satuan , maka B =. . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
5 3
2 2
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 3
2 5
e.
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛− −
2
4
5
1
2
1
b.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
4
3
2
1
4
5
2
1
d.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
− −
− −
4
3
4
5
4
5
2
1
5. Jika diketahui matriks ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
=
4 2 0
2 1 3
A dan
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
1 2
3 2
1 1
B
maka matriks A⋅B adalah . . . .
BAB III Matriks 109
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
6 0
2 2
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
2 0
4 6
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
4 4 0
2 3 3
b.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
−
1 2
3 2
1 1
d.
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
3 0
3 4
2 4
6. Nilai I1 dan I2 pada persamaan matriks ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 4
13
I
I
1 3
2 1
2
1 berturut-turut
adalah. . . .
a. 3 dan 5 c. 5 dan 3 e. 9 dan 4
b. 23 dan –2 d. 7 dan -1
7. Diketahui
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= − −
5 4 2
2 4 3
3 1 0
A maka det (A) = . . . .
a.-2 c. 0 e. 2
b. -1 d. 1
8. Nilai a, b, c, dan d berturut-turut yang memenuhi persamaan
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1 2
3 6
3 1
2 1
c d
a b
adalah . . . .
a. -1, 1, 2 dan 3 c. -1, -1, 2 dan 3 e. -15, -9, 5 dan 3
b. -1, 1, 3 dan 2 d. 1, 3, 9 dan 15
9. Matriks X yang memenuhi persamaan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
9 5
3 5
X
3 1
1 2
adalah. . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 2
3 1
c. ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
3 2
0 1
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 1
3 2
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
0 2
3 1
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
0 2
3 1
10. Diketahui ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
2 2
1 1
A dan ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
4 2
1 1
B , maka (A + B)2 = . . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 2
2 3
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 2
2 0
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0 12
0 4
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
12 0
4 0
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
12 8
4 3
11. Diketahui 4
2 1
x 1 3
=
−
−
, nilai x yang memenuhi persamaan adalah . . . .
a.-9 c. 0 e. 9
b. -4 d. 5
110 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
12. Diketahui A = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
3 2
4 1
nilai k yang memenuhi k ⋅ det(AT) = det(A-1) adalah . . . .
b. -5 c. -
25
1 e. 5
c. -
5
1 d.
25
1
13. Diketahui A = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
4 5
2 3
dan B = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
3 1
6 4
. Jika AX = BT , maka matriks X adalah . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
16 −10
18 12
c. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 8 − 5
9 6
e. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛− −
8 5
9 6
b. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
16 10
18 12
d. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
8 5
9 6
14. Jika 3Q – ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− 5 3
1 2 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
14 6
4 11 matriks Q adalah . . . .
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 3
4 2 c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
9 9
12 6 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
3 1
2 4
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 3
2 4 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
3 3
16 8
15. Harga x dan y berturut-turut dari persamaan ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
4 −1
2 3
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y −1
x 1 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
5 9
1 1
adalah . . . .
a. 2 dan -1 c. 2 dan -
3
1 e. -1 dan 4
b. -1 dan 2 d. -
3
1 dan 2
16. Diketahui A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
2 4
1 3 dan B = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−1 2
0 1 , X matriks berordo (2x2) yang memenuhi
persamaan matriks 2A – B + X = 0, maka X = . . . .
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
5 6
1 6 c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− −
−
5 6
1 6 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
5 6
6 1
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
5 1
1 6 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− −
− −
5 6
6 1
17. Jika A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
−
−
2 4
3 1 , B = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
1 3
0 2 , dan C = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
1 2
3 1 maka A x ( B – C ) =. . . .
a. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
−
−
10 20
7 19
c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
1 5
2 1 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
2 22
1 16
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛− −
10 6
4 5 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛− −
10 18
5 14
BAB III Matriks 111
18. Diketahui persamaan matriks ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− 5 − 2
4 3 X = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
2 1
10 9 maka X adalah . . . .
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
1 3
1 2 c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
4 3
1 2 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
3 1
3 2
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
3 1
3 1 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− −
7 3
7 13
19. Jika ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
4 3
2 3 A ⋅ = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
11 27
8 19 maka | A | = . . . .
a. -7 c. 0 e. 7
b. -1 d. 1
20. Diketahui matriks A = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ +
b c
1 a d
; B = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
c d
a 1 0
; dan C = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1 − 2b
2 0
Jika A + Bt = C dengan Bt adalah transpos dari B maka nilai d =. . . .
a. -2 c. 0 e. 2
b. -1 d. 1
21. jika ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
5
2 = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y
x
1 1
4 3 maka x + y adalah . . .
a. -31 c. -5 e. 31
b. -21 d. 5
22. Penyelesaian sistem persamaan
⎩ ⎨ ⎧
− =
− =
3x 2y 9
2x y 4 dapat dinyatakan sebagai . . . .
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y
x = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
3 2
2 1
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
9
4 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y
x = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
−
−
9
4
3 2
2 1
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y
x = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
9
4
1 2
1 3 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y
x = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
9
4
1 2
3 1
c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
y
x = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛− −
9
4
2 2
3 1
23. Diketahui matriks A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
3 2
2 1 , B = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
q −1
p 5 dan C = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−1 0
11 4
nilai p dan q yang memenuhi A + 2B = C Berturut-turut adalah . . .
a. –2 dan –1 c. –2 dan 3 e. 3 dan –2
b. –2 dan 1 d. 1 dan 2
24. Diketahui A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
2 1
4 3 , B = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
− −
1 5
2 3 dan C = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− 2 −1
5 4 , 2AT – B + 3C = . . .
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−1 − 6
18 6 c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−1 0
18 24 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−13 − 6
24 14
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−1 − 6
6 24 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−13 − 6
24 18
112 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
25. Invers matriks A = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− 3 − 2
1 4 adalah . . . .
a. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ⎛− −
4 2
1 3
10
1 c. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛− −
4 2
1 3
10
1 e. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ⎛− −
4 2
1 3
14
1
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛− −
3 1
2 4
10
1 d. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ⎛− −
3 1
2 4
14
1
A. Soal Essay
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
1. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.
a. (4 2)
3 2
X 7 5 − = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
− −
b. ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
= − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
4 3 6
X 3 2 0
4 2
5 2
2. Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan berikut.
a. 3x – 4y = 60 b. x – 3y + z = -15
y = 4 – 4x 2x – y = -13
4x – 3z = -17
3. Diketahui ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
= − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
= −
1 1
dan B 1 2
5 12
A 2 5 , tentukanlah:
a. (AT. B)–1 d. (A + B) –1
b. (B–1) –1 e. (2B – 3A) T
c. A–1 BT f. Buktikan (A B) –1 = B-1 A-1
4. Diketahui ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
=
2 1
A 1 0 , carilah f(A) = 3A2 – 2A + 5I ( I adalah matriks identitas)
5. Tentukanlah nilai x, y, z, a dan b dari persamaan matriks di bawah ini:
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+ + −
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
1 0 6
x 1 2 1
2 1 1
1 2z 3
2x 1 4 7
2 y 4
=
T
5 8 3
x 2z 2 8
2y 3a 2
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
− −
6. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini.
a. 0,25X –
1
2 9
1 4 −
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛− − =
T
4 3
2 1
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ −
b.
T
5 1
2 0
⎟⎠⎞
⎜⎝
⎛ – 3X = 2
1
4 2
1 1 −
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
Ubahlah cara berpikir kalian,
maka dunia kalian juga akan berubah
Sumber: Art & Gallery
4 PROGRAM LINIER
114 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Standar kompetensi program linier terdiri atas empat kompetensi dasar. Dalam
penyajian pada buku ini setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan
latihan. Sedangkan rangkuman dipaparkan pada setiap akhir bahasan suatu
kompetensi dasar. Kompetensi dasar dalam standar kompetensi ini adalah grafik
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier, model matematika dari soal
cerita (kalimat verbal), nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier, dan garis
selidik. Standar kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan
tertentu sehingga diperoleh nilai yang optimum pada kehidupan sehari-hari dalam
rangka menunjang program keahlian Penjualan dan Akuntansi. Sebelum mempelajari
standar kompetensi ini, diharapkan kalian telah menguasai standar kompetensi sistem
bilangan riil dan standar kompetensi Persamaan dan Pertidaksamaan.
Pada setiap akhir kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal
yang mudah hingga yang sulit. Latihan soal digunakan untuk mengukur kemampuan
kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari kompetensi
dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukurlah sendiri
kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut.
Untuk melancarkan kemampuan kalian supaya lebih baik dalam mengerjakan soal,
disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan, baik di sekolah dengan bimbingan
guru maupun di rumah.
Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi
dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum layak
mempelajari standar kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian dapat
mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.
Setelah mempelajari kompetensi ini, peserta didik diharapkan dapat mengaplikasikannya
dalam mempelajari kompetensi-kompetensi pada pelajaran matematika, pelajaran
lainnya, maupun dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh bentuk aplikasi program
linier bidang Penjualan dan Akuntansi, yaitu analisis produk yang dibuat atau
dibangun untuk mendapatkan keuntungan maksimum atau biaya minimum seperti
contoh berikut ini.
Pengembang suatu perumahan akan membangun perumahan yang terdiri atas tiga
tipe, yaitu tipe 36, tipe 45 dan tipe 70 dari lahan yang dimilikinya. Lahan yang ada
sebagian digunakan untuk fasilitas umum dan sosial.
Dari kondisi tersebut, analisis yang mungkin dilakukan oleh pihak pengembang dalam
menentukan jumlah rumah yang dapat dibangun untuk mendapatkan keuntungan
maksimal antara lain:
a. harga jual tanah per meter persegi,
b. biaya material per unit untuk tiap tipe,
c. biaya jasa tukang per unit untuk tiap tipe,
d. harga rumah standar per unitnya untuk masing-masing tipe,
e. banyaknya tiap tipe yang harus dibangun, dan
f. modal total yang harus disediakan untuk membangun perumahan tersebut
BAB IV Program Linier 115
Mungkin masih banyak lagi yang harus dianalisis untuk membangun sebuah kompleks
perumahan, namun di sini hanya memberikan gambaran penggunaan program linier
dalam kegiatan sebuah bisnis. Dari analisis sederhana tersebut dapat diperoleh
gambaran komponen apa saja yang terlibat dalam membuat sebuah perumahan.
Komponen-komponen ini sebagai variabel yang kemudian disusun menjadi bentuk
model pertidaksamaan linier dan dicari solusinya untuk mendapatkan keuntungan yang
optimum. Dalam buku ini hanya melibatkan pertidaksamaan-pertidaksamaan dua
variabel yang merupakan pengetahuan dasar dan diharapkan setelah mempelajari
kompetensi ini peserta didik dapat mengembangkan pertidaksamaan dengan variabel
lebih dari dua dalam penyelesaian kehidupan sehari-hari.
A. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 menjelaskan pengertian program linier,
􀂾 menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier, dan
􀂾 menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier
dengan 2 variabel.
1. Pengertian Program Linier
Dalam kegiatan produksi dan perdagangan, baik pada industri skala besar maupun
kecil tidak terlepas dari masalah laba yang harus diperoleh oleh perusahaan tersebut.
Tujuan utamanya adalah untuk memperoleh pendapatan yang sebesar-besarnya
dengan meminimumkan pengeluarannya (biaya bahan baku, biaya proses produksi,
gaji karyawan, transportasi, dan lain-lain).
Untuk maksud tersebut biasanya pihak manajemen perusahaan membuat beberapa
kemungkinan dalam menentukan strategi yang harus ditempuh untuk mencapainya.
Misalnya, dalam memproduksi dua macam barang dengan biaya dan keuntungan
Gambar 4-1 Tampak perumahan berbagai tipe
Sumber: www.serpongfile.wordpress.com.
116 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
berbeda. Pihak perusahaan dapat menghitung keuntungan yang mungkin dapat
diperoleh sebesar-besarnya dengan memperhatikan bahan yang diperlukan,
keuntungan per unit, biaya transportasi, dan sebagainya.
Untuk menyelesaikan masalah tersebut digunakan program linier. Program linier
diartikan sebagai cara untuk menyelesaikan suatu persoalan (penyelesaian optimum)
dengan menggunakan metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk persamaanpersamaan
atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linier.
Untuk mendapatkan penyelesaian optimum tersebut digunakan metode grafik yang
diterapkan pada program linier sederhana yang terdiri atas dua variabel dengan cara
uji titik pojok atau garis selidik pada daerah himpunan penyelesaian.
2. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel sudah dibahas pada
saat kalian belajar matematika di SMP. Namun, untuk mengingatkan kembali
perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari
a. x ≥ 0 c. x < 2 e. 2 ≤ x ≤ 4
b. y ≥ 0 d. x ≥ -1 f. –1 < y ≤ 2
Jawab:
a. x ≥ 0 mempunyai persamaan x = 0, ini merupakan garis lurus, yang berimpit
dengan sumbu y. Daerah penyelesaian dengan mudah dapat dicari yaitu daerah di
sebelah kanan garis atau sumbu y karena yang diminta adalah untuk x ≥ 0. Daerah
penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2a.
b. y ≥ 0 mempunyai persamaan y = 0, ini merupakan garis lurus yang berimpit
dengan sumbu x. Daerah penyelesaian dengan mudah dapat dicari, yaitu daerah di
sebelah atas garis atau sumbu x karena yang diminta adalah untuk y ≥ 0. Daerah
penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2b.
c. x < 2 mempunyai persamaan x = 2. Daerah penyelesaian adalah daerah di sebelah
kiri garis karena yang diminta adalah untuk x < 2. Daerah penyelesaian
ditunjukkan pada gambar 4-2c.
d. x ≥ -1 mempunyai persamaan x = -1. Daerah penyelesaian adalah daerah di
sebelah kanan garis karena yang diminta adalah untuk x ≥ -1. Daerah
penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2d.
e. 2 ≤ x ≤ 4 mempunyai persamaan x = 2 dan x = 4. Daerah penyelesaian adalah
daerah di antara kedua garis tersebut. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada
gambar 4-2e.
BAB IV Program Linier 117
f. -1 ≤ y ≤ 2 mempunyai persamaan y = -1 dan y = 2. Daerah penyelesaian adalah
daerah di antara kedua garis tersebut. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada
gambar 4-2f.
y
0 x
x
y
-1
(a)
(d)
HP
HP
y
0 x
x
y
0 2 4
(b)
(e)
HP
HP
y
2 x
-1 x
2
y
(c)
0
(f)
HP
HP
3. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linier Dua Variabel
Pertidaksamaan linier dua variabel, yaitu pertidaksamaan yang memuat dua peubah
misalnya x dan y. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat disajikan
dalam bidang cartesius. Bentuk-bentuk pertidaksamaan linier adalah
ax + by < c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c atau ax + by > c.
Langkah-langkah yang ditempuh untuk menyelesaikan daerah himpunan
pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut
a. Gambarlah garis ax + by = c pada bidang cartesius dengan cara mencari titik-titik
potong grafik dengan sumbu x ( y = 0 ) dan sumbu y ( x = 0 ).
b. Ambil titik sembarang P(x1, y1) yang bukan terletak pada garis tersebut, kemudian
dihitung nilai dari ax1 + by1. Nilai ax1 + by1 ini dibandingkan dengan nilai c.
c. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by ≤ c ditentukan sebagai berikut
• Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat P merupakan daerah
penyelesaian.
• Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat titik P bukan merupakan daerah
penyelesaian.
d. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by ≥ c ditentukan sebagai berikut
• Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat P merupakan daerah
penyelesaian.
• Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat titik P bukan merupakan daerah
penyelesaian.
e. Daerah yang bukan merupakan penyelesaian diberi arsiran, sehingga daerah
penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran. Hal ini sangat membantu pada
saat menentukan daerah yang memenuhi terhadap beberapa pertidaksamaan.
Gambar 4-2 Himpunan daerah penyelesaian
118 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
f. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama dengan
digambar dengan garis penuh, sedangkan daerah penyelesaian pertidaksamaan
yang tidak memuat tanda sama dengan digambar dengan garis putus-putus.
Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari
a. 2x + y ≤ 4 b. 2x – 3y ≥ 6
Untuk menyelesaikan contoh di atas, gambarkan terlebih dahulu grafik masing-masing
garisnya dengan cara mencari titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
Jawab:
a. 2x + y = 4
Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara
membuat tabel berikut ini.
x 0 2
y 4 0
Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2, 0) dan (0, 4).
Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 2x + y ≤ 4 dan diperoleh 2 ⋅ 0 + 0 ≤ 4.
Daerah yang terdapat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir) yang
ditunjukkan pada gambar 4–3a.
b. 2x – 3y = 6
Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara
membuat tabel berikut ini:
x 0 3
y -2 0
Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, -2) dan (3, 0).
Ambillah titik P(0,0) sebagai titik uji pada 2x – 3y ≥ 6, dan diperoleh 2⋅ 0 – 3⋅ 0 ≤ 6.
Daerah yang terdapat titik P bukan merupakan penyelesaian (daerah terarsir)
yang ditunjukkan pada gambar 4 – 3b.
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≥ 0, y ≥ 0 dan 2x + y ≤ 4
Gambar 4-3 Himpunan daerah penyelesaian pertidaksamaan dua variabel
BAB IV Program Linier 119
Jawab:
Himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan di atas adalah
perpotongan atau irisan dari ketiga
penyelesaian pertidaksaaan
tersebut. Perhatikan (a) dan (b)
pada contoh 1 dan (a) pada contoh
2 di atas. Dengan demikian
himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan tersebut disajikan
seperti tampak pada gambar 4-4 di
samping.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≥ 1, y ≥ -1 dan x + 2y ≤ 4.
Jawab:
• Untuk x ≥ 1 mempunyai persamaan x = 1. Daerah penyelesaian adalah daerah di
sebelah kanan garis karena yang diminta adalah untuk x ≥ 1.
• Untuk y ≥ -1 mempunyai persamaan y = -1. Daerah penyelesaian adalah daerah
di sebelah atas garis karena yang diminta adalah untuk y ≥ -1.
• Untuk x + 2y ≤ 4 mempunyai persamaan x + 2y = 4 dan titik potong grafik
dengan sumbu koordinat dicari seperti berikut ini.
x 0 4
y 2 0
Titik potong dengan sumbu
koordinat adalah (4, 0) dan (0, 2)
Ambillah titik P(0, 0) sebagai
titik uji pada x + 2y ≤ 4 dan
diperoleh 0 + 2⋅ 0 ≤ 4.
Daerah yang memuat
titik P merupakan penyelesaian
(daerah tidak terarsir).
• Jadi, daerah yang merupakan
penyelesaian adalah daerah
yang tanpa arsiran seperti
gambar 4-5 di samping.
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 3, dan 3x + y ≥ 6
Jawab:
• x + y ≥ 3 mempunyai persamaan x + y = 3 dan titik potong grafik dengan sumbu
koordinat dapat dicari seperti berikut ini.
Gambar 4-4 HP dari x ≥ 0, y ≥ 0 dan 2x + y ≤ 4
Gambar 4-5 HP dari x ≥ 1, y ≥ -1
dan x + 2y ≤ 4
120 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
x 0 3
y 3 0
Titik potong dengan sumbu
koordinat adalah (3, 0) dan (0, 3).
Ambillah titik P(0, 0) sebagai
titik uji pada x + y ≥ 3, dan
diperoleh 0 + 0 ≤ 3.
Daerah yang memuat
titik (0, 0) bukan merupakan
penyelesaian (daerah terarsir).
• 3x + y ≥ 6 mempunyai persamaan
3x + y = 6 dan titik potong grafik
dengan sumbu koordinat dapat
dicari seperti berikut ini.
x 0 2
y 6 0
Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (2, 0) dan (0, 6).
Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 3x + y ≥ 6, dan diperoleh 3.0 + 0 ≤ 6.
Daerah yang memuat titik (0, 0) bukan merupakan penyelesaian (daerah
terarsir). Daerah penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran seperti pada
gambar 4-6
Contoh 6
Tentukan penyelesaian dari x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 12, dan 3x – y ≥ -3, (x, y ∈ B).
Jawab:
• Untuk 0 ≤ y ≤ 4 mempunyai persamaan garis y = 0 dan y = 4. Daerah
penyelesaian adalah daerah di antara y = 0 dan y = 4.
• Untuk 3x + 2y ≤ 12 mempunyai persamaan 3x + 2y = 12 dan titik potong grafik
dengan sumbu koordinat dapat dicari seperti berikut ini.
x 0 4
y 6 0
Titik potong dengan sumbu
koordinat adalah (4, 0) dan (0, 6)
Ambillah titik P(0, 0) sebagai
titik uji pada 3x + 2y = 12, dan
diperoleh 3⋅ 0 + 2⋅ 0 ≤ 12.
Daerah yang memuat
titik P merupakan penyelesaian
(daerah tidak terarsir).
• 3x – y ≥ -3 mempunyai persamaan
3x – y = -3 dan titik potong grafik
dengan sumbu koordinat dapat dicari
seperti berikut ini. Gambar 4-7 HP dari x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4,
3x + 2y ≤ 12, dan 3x – y ≥ -3
Gambar 4-6 HP x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 3,
dan 3x + y ≥ 6
BAB IV Program Linier 121
x 0 -1
y 3 0
Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (-1, 0) dan (0, 3).
Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 3x – y ≥ -3, dan diperoleh 3.0 – 0 ≥ -3.
Daerah yang memuat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir).
• Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ditunjukkan oleh noktah-noktah pada
daerah penyelesaian, karena x dan y merupakan bilangan bulat seperti
ditunjukkan pada gambar 4,7 di atas. Jika dicari himpunan penyelesaiannya adalah
HP = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, 2), (1, 2),
(2, 2), (0, 3) (1, 3), (2, 3), (1, 4)}.
Contoh 7
Daerah HP dari gambar 4-8 di samping
merupakan himpunan penyelesaian dari
suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan
sistem pertidaksamaan tersebut.
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal tersebut,
yang pertama dilakukan adalah mencari
persamaan garis yang melalui titik-titik
pada gambar 4-8 dengan menggunakan
rumus persamaan garis
yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)
sebagai berikut.
2 1
1
2 1
1
x x
x x
y y
y y
−
−
=
−
−
Misalkan g1 adalah garis yang melalui titik (1, 0) dan (0, 2), maka g1 adalah
y 2x 2 2x y 2
1
x 1
2
y
0 1
x 1
2 0
y 0 ⇒ − = − ⇒ + =
−
⇒ = −
−
= −
−
−
dan g2 adalah garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 1), maka g2 adalah
2y x 2 x 2y 2
2
x 2
1
y
0 2
x 2
1 0
y 0 ⇒ − = − ⇒ + =
−
⇒ = −
−
= −
−
−
Daerah yang diarsir terletak pada
sebelah kanan sumbu y, maka x ≥ 0;
sebelah atas sumbu x , maka y ≥ 0;
sebelah bawah garis g1 maka 2x + y ≤ 2;
sebelah bawah garis g2, maka x + 2y ≤ 2.
Dengan demikian sistem pertidaksamaan
dari daerah yang diarsir adalah
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
+ ≤
+ ≤
≥
≥
x 2y 2
2x y 2
y 0
x 0
Untuk mencari persamaan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a, 0)
dan (0, b) dapat digunakan rumus
bx + ay = ab
Contoh penggunaan rumus tersebut dapat dilihat pada contoh di bawah ini.
Gambar 4-8 Daerah HP dari suatu
sistem pertidaksamaan
122 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 8
Daerah yang diarsir dari gambar 4-9
merupakan himpunan penyelesaian dari
suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan
sistem pertidaksamaan tersebut.
Jawab:
• Persamaan garis g1 melalui titik
(2, 0) dan (0, 4) adalah:
4x + 2y = 8
2x + y = 4
• Persamaan garis g2 melalui titik (3, 0) dan (0, 2) adalah 2x + 3y = 6
• Selain dibatasi oleh garis-garis di atas juga dibatasi oleh garis x = 0 dan y = 0.
Daerah yang diarsir terletak:
Sebelah kanan sumbu y, maka x ≥ 0
Sebelah atas sumbu x , maka y ≥ 0
Sebelah atas garis g1, maka 2x + y ≥ 4
Sebelah atas garis g2, maka 2x + 3y ≥ 6
Sehingga sistem pertidaksamaan dari
daerah yang diarsir adalah
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
+ ≥
+ ≥
≥
≥
2x 3y 6
2x y 4
y 0
x 0
B. Rangkuman Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier
1. Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat dua
peubah misalnya x dan y. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat
disajikan dalam bidang cartesius. Bentuk umumnya adalah
ax + by < c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c atau ax + by > c.
2. Langkah-langkah yang ditempuh untuk menyelesaikan daerah himpunan
penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut.
a. Gambarlah garis ax + by = c pada bidang cartesius dengan cara mencari titiktitik
potong grafik dengan sumbu x ( y = 0 ) dan sumbu y ( x = 0 ).
b. Ambil titik sembarang P(x1, y1) yang bukan terletak pada garis tersebut,
kemudian dihitung nilai dari ax1 + by1 untuk mengetahui apakah nilai P terletak
pada daerah penyelesaian atau tidak.
c. Daerah yang bukan merupakan penyelesaian diberi arsiran, sehingga daerah
penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran. Hal ini sangat membantu
pada saat menentukan daerah yang memenuhi terhadap beberapa
pertidaksamaan.
3. Untuk menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan membutuhkan rumus-rumus
berikut:
a. Rumus persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2), yaitu
2 1
1
2 1
1
x x
x x
y y
y y
−
−
=
−
−
b. Persamaan garis yang memotong sumbu x dan y di titik (a, 0) dan(0, b) dapat
digunakan rumus bx + ay = ab
Gambar: 4-9 Daerah HP dari suatu
sistem pertidaksamaan
BAB IV Program Linier 123
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini.
a. x ≥ 1 e. -1 ≤ x ≤ 3 i. x + y ≥ 2
b. x ≤ -2 f. 0 ≤ x ≤ 4 j. -x + 2y ≤ 4
c. y ≤ 2 g. -2 ≤ y ≤ 0 k. 3x + 5y ≤ 15
d. y ≥ -3 h. 1 ≤ y ≤ 2 l. 2x + y ≤ 6
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini.
a. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 h. 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, x + 2y ≤ 6
b. x ≥ 0, y ≥ 0, x – y ≤ 3 i. 0 ≤ x ≤ 3, -1 ≤ y ≤ 4, 2x + y ≤ 5
c. x ≥ 0, y ≥ 0, x + 3y ≥ 6 j. -1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, -x + y ≥ 3
d. x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≥ 6 k. x ≥ 0, y ≥ 0, x + 4y ≤ 8, 2x + y ≤ 4
e. x ≥ 1, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 l. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≥ 4
f. x ≥ -1, y ≤ 3, 2x + y ≤ 6 m. x ≥ 0, y ≥ 0, 12x + 3y ≤ 36, 2x + y ≥ 10
g. x + 2y ≤ 4, 3x + y ≤ 6 n. x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 8, 3x + y ≥ 6
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut untuk x dan y
anggota bilangan bulat.
a. x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 4 d. 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, x + y ≤ 5
b. 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5 e. x ≥ 0, y ≥ 0, 4x + 5y ≤ 20
c. -1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 f. x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8
4. Tentukan sistem pertidaksamaan dari himpunan penyelesaian yang disajikan dalam
gambar (daerah diarsir) di bawah ini.
(6, 1)
124 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
C Model Matematika dari Soal Cerita (Kalimat Verbal)
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 menjelaskan pengertian model matematika,
􀂾 menyusun model matematika dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier,
􀂾 menentukan daerah penyelesaian.
1 . Pengertian Model Matematika
Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke
dalam bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan
penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana
dan mudah dimengerti. Jadi model matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa
persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari suatu penafsiran ketika
menerjemahkan suatu soal verbal. Model matematika pada persoalan program linier
pada umumnya membahas beberapa hal, yaitu:
a. Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linier dua peubah yang
merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh peubah itu sendiri.
b. Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak
dioptimalkan(minimalkan atau maksimalkan)
2. Mengubah Kalimat Verbal menjadi Model Matematika dalam Bentuk
Sistem Pertidaksamaan
Untuk mempermudah mengubah soal-soal verbal yang berbentuk program linier ke
dalam model matematika digunakan tabel sebagai berikut :
Variabel Variabel 1 (x) Variabel 2 (y) Persediaan
Variabel lain 1
Variabel lain 2
Variabel lain 3
Contoh 9
Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Sedangkan
untuk roti B diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia
hanya 4 kg dan mentega yang ada 1,2 kg. Jika harga roti A Rp400,00 dan roti B
harganya Rp500,00. Buatlah model matematikanya.
Jawab:
Misalkan banyak roti A = x dan banyak roti B = y , berarti variabel yang lain adalah
tepung dan mentega. Sehingga tabel yang diperoleh sebagai berikut :
Variabel Roti A (x) Roti B (y) Persediaan
tepung 200 gram 100 gram 4000 gram
mentega 25 gram 50 gram 1200 gram
BAB IV Program Linier 125
Terigu dan mentega paling banyak tersedia 4 kg = 4.000 gram dan 1,2 kg = 1.200
gram jadi tanda pertidaksamaan < . Dari tabel dapat dibuat pertidaksamaan:
200 x + 100 y < 4.000 disederhanakan:
2x + y < 40 . . . (1)
25 x + 50 y < 1.200 disederhanakan:
x + 2y < 48 . . . (2)
karena x dan y adalah bilangan bulat
yang tidak negatif maka:
x > 0 . . . (3)
y > 0 . . . (4)
keempat pertidaksamaan di atas merupakan persyaratan yang harus dipenuhi disebut
fungsi kendala. Harga roti A Rp500,00 dan roti B Rp400,00, maka hasil penjualan
dapat dirumuskan dengan Z = 400 x + 500 y : Z disebut fungsi objektif atau fungsi
sasaran yang dapat dimaksimumkan atau diminimumkan.
Contoh 10
Seorang agen sepeda bermaksud membeli 25 buah sepeda untuk persediaan. Harga
sepeda biasa Rp600.000,00 per buah dan sepeda federal Rp800.000,00 per buah. Ia
merencanakan untuk tidak membelanjakan uangnya lebih dari Rp16.000.000,00
dengan mengharap keuntungan Rp100.000,00 per buah dari sepeda biasa dan
Rp120.000,00 per buah dari sepeda federal. Buatlah model matematikanya.
Jawab:
Misalkan x = jumlah sepeda biasa dan y = jumlah sepeda federal, maka dapat dibuat
tabel sebagai berikut.
Variabel Sepeda biasa
(x)
Sepeda federal
(y) Persediaan
Jumlah 1 1 25
Modal 600.000 800.000 16.000.000
Persediaan sepeda dan modal paling banyak 25 buah dan Rp16.000.000,00. Jadi tanda
pertidaksamaan < , sehingga pertidaksamaannya sebagai berikut.
x + y < 25 . . . . (1)
600.000x + 800.000 y < 16.000.000 disederhanakan
3 x + 4y < 80 . . . . (2)
x > 0 . . . . (3) dan
y > 0 . . . . (4)
Bentuk objektifnya Z = 100.000 x + 120.000 y
Gambar 4-10 Toko roti
www.mallkelapagading.com
126 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 11
Seorang petani memerlukan paling sedikit 30 unit zat kimia A dan 24 unit zat kimia B
untuk pupuk kebun sayurnya. Kedua zat kimia itu dapat diperoleh dari pupuk cair dan
pupuk kering. Jika setiap botol pupuk cair yang berharga Rp20.000,00 mengandung
5 unit zat kimia A dan 3 unit zat kimia B, sedangkan setiap kantong pupuk kering yang
berharga Rp16.000,00 mengandung 3 unit zat kimia A dan 4 unit zat kimia B. Buatlah
model matematikanya, sehingga petani dalam membeli dua jenis pupuk tersebut
mengeluarkan biaya seminimal mungkin.
Jawab:
Misalkan banyak botol pupuk cair = x dan banyak kantong pupuk kering = y , berarti
variabel yang lain adalah zat kimia A dan zat kimia B. Dengan demikian tabel yang
diperoleh adalah sebagai berikut
Variabel Pupuk cair
(x)
Pupuk kering
(y) Persediaan
Zat kimia A 5 3 30
Zat kimia B 3 4 24
Zat kimia A dan zat kimia B paling sedikit 30 unit dan 24 unit. Jadi, tanda
pertidaksamaan adalah ≥ . Dari tabel dapat dibuat pertidaksamaan:
5x + 3y ≥ 30 . . . . (1)
3x+ 4y ≥ 24 . . . . (2)
karena x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif, maka:
x ≥ 0 . . . . (3)
y ≥ 0 . . . . (4)
Dengan harga per botol pupuk cair Rp20.000,00 dan per kantong pupuk kering
Rp16.000,00, maka pengeluaran petani untuk membeli pupuk dirumuskan dengan
fungsi obyektif Z = 20.000x + 16.000y
Contoh 12
Pengembang PT Bangun Propertindo membangun tiga jenis rumah, yaitu tipe 21, tipe
36, dan tipe 45 di daerah Tangerang provinsi Banten.
.Luas tanah yang diperlukan untuk
membangun masing-masing tipe adalah
60 m2, 72 m2, dan 90 m2 untuk tiap
unitnya. Tanah yang tersedia seluas
50 hektar. Tanah yang tersedia digunakan
juga untuk membuat jalan serta
diwajibkan menyediakan lahan untuk
fasilitas sosial dan umum (fasos dan
fasum) yang luasnya 5% dari tanah yang
tersedia. Apabila banyaknya rumah yang
dapat dibangun masing-masing tipe
adalah x, y, dan z unit, buatlah model
matematika dari persoalan tersebut. Gambar 4-11 Perumahan di Serpong
www.serpongfile.wordpress.com
BAB IV Program Linier 127
Jawab:
Misalkan banyaknya rumah yang dapat dibangun sebagai berikut.
Rumah tipe 21 adalah x unit, Rumah tipe 36 adalah y unit, dan rumah tipe 45 adalah
z unit. Luas tanah yang digunakan untuk membangun rumah adalah L. Jadi,
L = luas tanah yang tersedia – luas untuk jalan dan fasos/fasum
= 50 hektar – 5% . 50 hektar
= 47,5 hektar = 475.000 m2
Dengan demikian model matematika dari persoalan verbal tersebut adalah:
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 60x + 72y + 90z ≤ 475.000
Tanda ≥ dimaksudkan bahwa tiap tipe rumah yang dibangun lebih dari sama dengan 0,
sedangkan tanda ≤ untuk membatasi luas tanah maksimum yang tersedia.
Persoalan yang muncul biasanya pada perusahaan, yaitu bagaimana memaksimumkan
keuntungan (pendapatan) atau meminimumkan pengeluaran dari bahan yang
digunakan dalam memproduksi suatu barang atau jasa. Variabel atau faktor-faktor
lain yang berkaitan proses menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) perlu
diperhitungkan. Pada pembahasan buku ini hanya terdiri atas dua peubah.
Contoh 13
Dari contoh 10, buatlah daerah penyelesaiannya.
Jawab:
Contoh 10, diperoleh sistem pertidaksamaan:
x + y < 25
3x + 4y < 80
x > 0
y > 0
dengan menggunakan cara menentukan daerah penyelesaian dari contoh 5 diperoleh
grafik daerah penyelesaian sebagai berikut.
Gambar 4-12 Daerah HP x + y < 25;
3x + 4y < 80; x > 0; y > 0
128 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
D. Rangkuman Model Matematika dari Soal Cerita (Kalimat Verbal)
1. Untuk mempermudah mengubah soal-soal verbal yang berbentuk program linier ke
dalam model matematika kita gunakan tabel sebagai berikut :
Variabel Variabel 1 (x) Variabel 2 (y) Persediaan
Variabel lain 1
Variabel lain 2
Variabel lain 3
2. Sistem pertidaksamaan ≤ , jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata “paling
banyak“. Sistem pertidaksamaan ≥ , jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata
“paling sedikit“.
Dari soal-soal verbal di bawah ini, buatlah model matematikanya, baik fungsi kendala
maupun fungsi sasaran. jika ada. Kemudian tentukan daerah penyelesaiannya.
1. Seorang petani ingin memupuk tanaman jagung dan kedelai masing-masing
dengan 300 gram Urea dan 150 gram Za untuk jagung, sedangkan untuk kedelai
600 gr urea dan 125 gr Za. Petani tersebut memiliki hanya 18 kg Urea dan 6 kg
Za.
2. Produk A membutuhkan 30 kg bahan mentah dan 18 jam waktu kerja mesin.
Produk B membutuhkan 20 kg bahan mentah dan 24 jam kerja mesin. Bahan
mentah yang tersedia 75 kg dan waktu kerja mesin 72 jam.
3. Seorang penjahit akan membuat pakaian jadi dengan persedian kain polos
20 meter dan kain bergaris 10 meter. Model A membutuhkan 1 meter kain polos
dan 1,5 meter kain bergaris. Model B membutuhkan 2 meter kain polos dan
0,5 meter kain bergaris. Keuntungan pakaian model A sebesar Rp15.000,00 dan
pakaian model B sebesar Rp10.000,00.
4. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling
sedikit 75 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 100 pasang. Toko tersebut
hanya dapat memuat 200 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu lakilaki
sebesar Rp15.000,00 dan sepatu wanita Rp10.000,00.
5. Seorang pengusaha ingin menyewakan rumahnya kepada 640 orang mahasiswa.
Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiri
atas tipe I (untuk 4 orang) disewakan Rp500.000,00/bulan dan tipe II (untuk
6 orang) disewakan Rp700.000,00/bulan.
6. Seorang penjaga buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual Apel dan
jeruk. Harga pembelian apel Rp5.000,00 tiap kg dan jeruk Rp2.000,00 tiap kg.
Pedagang tersebut hanya mempunyai modal Rp1.250.000,00 dan muatan gerobak
tidak melebihi 400 kg.
7. Diketahui luas daerah parkir 360 m2. Jika luas rata-rata sebuah mobil 6 m2
dan sebuah bus 24 m2, dan daerah parkir tidak dapat memuat lebih dari
BAB IV Program Linier 129
20 kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah mobil Rp3.000,00 dan sebuah bus
Rp5.000,00.
8. Lia membeli kue A dengan harga Rp1.000,00 dan kue B seharga Rp2.000,00.
Modal yang dimiliki Lia tidak lebih dari Rp400.000,00. Lia dapat menjual kue A
dengan harga Rp1.300,00 dan kue B dengan harga Rp2.200,00. Lia hanya dapat
menjual kedua kue sebanyak 300 buah saja setiap hari.
9. Seorang penjahit mempunyai bahan 30 meter wol dan 20 meter katun. Ia akan
membuat setelan jas dan rok untuk dijual. Satu setel jas memerlukan 3 meter wol
dan 1 meter katun, sedangkan untuk rok memerlukan 1 meter wol dan 2 meter
katun. Keuntungan dari 1 setel jas Rp75.000,00 dan 1 setel rok Rp50.000,00.
10. Seorang pengusaha material hendak mengangkut 110 ton barang dari gudang A
ke gudang B. Untuk keperluan ini sekurang-kurangnya diperlukan 50 kendaraan
truk yang terdiri atas truk jenis 1 dengan kapasitas 3 ton dan truk jenis 2 dengan
kapasitas 2 ton. Biaya sewa truk jenis 1 adalah Rp50.000,00 dan truk jenis 2
adalah Rp40.000,00.
E. Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 menentukan titik optimum dari daerah himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linier, dan
􀂾 menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif.
Nilai Optimum Fungsi Sasaran dari Daerah Sistem Pertidaksamaan Linier
Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke
dalam bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan
penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana
dan mudah dimengerti.
Pada pembahasan dalam buku ini hanya menyajikan model matematika sederhana
yang hanya melibatkan dua variabel dan penentuan nilai optimum dengan
menggunakan uji titik pojok. Langkah-langkah yang ditempuh untuk mendapatkan nilai
optimum adalah sebagai berikut.
a. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk sistem
pertidaksamaan).
b. Tentukan Himpunan Penyelesaian (daerah feasible).
c. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah feasible tersebut
d. Hitung nilai bentuk objektif untuk setiap titik pojok dalam daerah feasible.
e. Dari hasil pada langkah d, nilai maksimum atau minimum dapat ditetapkan.
Contoh 14
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari Z = 5x + 3y , dengan syarat:
x + 2y ≤ 8; x + y ≤ 6; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Jawab:
Dengan cara seperti contoh sebelumnya, sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai
130 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
himpunan penyelesaian seperti tampak pada gambar 4-13 yang merupakan daerah
tanpa arsiran.
Kemudian diuji titik-titik pojoknya yang ditunjukkan pada tabel berikut
Titik x y 5x + 3y
O (0,0) 0 0 0
A (6,0) 6 0 30
B (4,2) 4 2 26
C (0,4) 0 4 12
Jadi, nilai maksimum adalah 30, terjadi untuk x = 6 dan y = 0. Sedangkan nilai
minimum sama dengan 0 untuk x = 0 dan y = 0.
Contoh 15
Tentukan nilai maksimum dan minimum
Z = 2x + 3y dari daerah feasible yang
ditunjukkan pada gambar 4-14
Jawab:
Dengan menggunakan uji titik pojok nilai
maksimum dan minimum dicari seperti
ditunjukkan pada tabel di bawah ini
Titik x y 2x + 3y
(2, 0) 2 0 4
(5, 0) 5 0 10
(7, 3) 7 3 23
(3, 5) 3 5 21
(0, 3) 0 3 9
Contoh 16
Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 orang.
Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas
ekonomi 20 kg, sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih
dari 1.440 kg. Apabila harga tiket untuk kelas utama dan ekonomi masing-masing
Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan
berupa segi empat dengan titik pojok O, A, B
dan C. Titik B dapat dicari dengan cara
eliminasi/substitusi antara garis x + 2y = 8 dan
x + y = 6, yaitu
y 2
x y 6
x 2y 8
=
+ = −
+ =
x + 2 = 6
x = 4, sehingga titik B(4, 2)
Dari tabel terlihat bahwa nilai
maksimum adalah 23 terjadi pada titik
(7, 3) dan nilai minimum 4 terjadi pada
titik (2, 0).
Gambar 4-13 Daerah HP dari x + 2y ≤ 8;
x + y ≤ 6; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Gambar 4-14 Daerah feasible sistem
pertidaksamaan
BAB IV Program Linier 131
adalah Rp1.000.000,00 dan Rp500.000,00 per orang, tentukan banyaknya penumpang
setiap kelas agar hasil penjualan tiket maksimum.
Jawab:
Model matematika disusun dengan memisalkan
banyaknya penumpang kelas utama = x orang
banyaknya penumpang kelas ekonomi = y orang
Penumpang Bagasi Harga tiket
x 60 kg 1.000.000,00
y 20 kg 500.000,00
48 1.440
Maksimumkan Z = 1.000.000x + 500.000y
Syarat daya tampung : x + y ≤ 48
Syarat kapasitas bagasi: 60x + 20y ≤ 1440
x ≥ 0 ; y ≥ 0
Uji titik-titik pojok, yaitu titik-titik O, A, B, dan C.
Titik x y 1.000.000x + 500.000y
O (0,0)
A (24,0)
B (12,36)
C (0,48)
0
24
12
0
00
36
48
0
24.000.000
30.000.000
24.000.000
Nilai maksimum Z adalah Rp30.000.000,00 dipenuhi oleh x = 12 dan y = 36, atau
dengan kata lain penjualan tiket akan maksimum jika banyaknya penumpang kelas
utama sebanyak 12 orang dan kelas ekonomi 36 orang.
Contoh 17
Kebutuhan gizi minimum tiap pasien suatu rumah sakit per harinya adalah 150 unit
kalori dan 130 unit protein. Apabila dalam tiap kilogram daging mengandung 500 unit
kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap ikan basah mengandung 300 unit kalori
dan 400 protein dengan harga masing-masing kilogramnya adalah Rp40.000,00 dan
Rp20.000,00. Tentukan biaya minimum untuk kebutuhan 100 pasien tiap harinya pada
rumah sakit tersebut.
Dari model matematika di dapat daerah feasible OABC
dengan titik B dicari seperti berikut
x 12
40x 480
20x 20y 960
60x 20y 1440
20
1
x y 48
60x 20y 1440
x
x
=
=
+ =
+ =
+ =
+ =
12 + y = 48
y = 36 koordinat titik B(12, 36)
Gambar 4-15 Daerah HP dari x + y ≤ 48;
2x + y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
132 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Jawab:
Model matematika disusun dengan memisalkan
Banyaknya daging sapi perharinya = x kg
Banyaknya ikan basah perharinya = y kg
Banyaknya Kalori Protein Harga
x 500/kg 200/kg 40.000
y 300/kg 400/kg 20.000
150/orang 130/orang
Meminimumkan biaya, Z = 40.000x + 20.000y
Syarat kalori 100 orang, 500x + 300y ≥ 15.000 ⇒ 5x + 3y ≥ 150
Syarat protein 10 orang, 200x + 400y ≥ 13.000 ⇒ 2x + 4y ≥ 130
x ≥ 0; y ≥ 0
Dari model matematika didapat daerah feasible ABC
(daerah tak terarsir) pada gambar 4-16
dengan titik B dicari seperti berikut
Uji titik-titik pojok, yaitu titik-titik A, B dan C.
Titik x y 30.000x + 20.000y
A (0, 50)
B (15, 25)
C (65, 0)
0
15
65
50
25
0
1.000.000
950.000
1.950.000
Contoh 18
Suatu perusahaan mengeluarkan sejenis barang yang diperoduksi dalam tiga ukuran,
yaitu ukuran besar, ukuran sedang dan ukuran kecil. Ketiga ukuran itu dihasilkan
dengan menggunakan mesin I dan mesin II . Mesin I setiap hari menghasilkan 1 ton
ukuran besar, 3 ton ukuran sedang dan 5 ton ukuran kecil. Mesin II setiap hari
menghasilkan masing-masing ukuran sebanyak 2 ton. Perusahaan itu bermaksud
memperoduksi paling sedikit 80 ton ukuran besar, 160 ton ukuran sedang dan 200 ton
ukuran kecil. Bila biaya operasi mesin I adalah Rp500.000,00 tiap hari dan mesin II
adalah Rp400.000,00 tiap hari. Dalam berapa hari masing-masing mesin bekerja
untuk pengeluaran biaya sekecil-kecilnya dan berapa biaya tersebut.
Jawab:
Model matematika disusun dengan memisalkan:
Jumlah hari kerja mesin I adalah x
Jumlah hari kerja mesin II adalah y
y 25
-14y 350
10x 20y 650
10x 6y 300
5
2
2x 4y 130
5x 3y 150
x
x
=
= −
+ =
+ =
+ =
+ =
2x + 4(25) = 130
x = 15 koordinat titik B(15, 25)
Jadi, biaya minimum tiap hari untuk 100 pasien
adalah Rp950.000,00 yaitu untuk 15 kg daging
dan 25 kg ikan perharinya.
Gambar 4-16
Daerah HP dari 5x + 3y ≤ 150;
x + 2y ≤ 65 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
BAB IV Program Linier 133
Dengan menggunakan tabel diperoleh sebagai berikut
Mesin I(x) Mesin II(y) Persediaan
Ukuran besar 1 ton 2 ton 80 ton
Ukuran sedang 3 ton 2 ton 160 ton
Ukuran kecil 5 ton 2 ton 200 ton
Fungsi objektifnya Z = 500.000x + 400.000y
Syarat ukuran besar x + 2y > 80
Syarat ukuran sedang 3x + 2y > 160
Syarat ukuran kecil 5x + 2y > 200
Dengan cara seperti contoh sebelumnya, sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai
himpunan penyelesaian seperti tampak pada gambar 4-17 yang merupakan daerah
tanpa arsiran
Uji titik pojok, yaitu koordinat (0, 100), A(20, 50), B(40, 20), dan (80, 0), yaitu:
Titik x y 500.000x + 400.000y
(0, 100) 0 100 40.000.000
A(20, 50) 20 50 30.000.000
B(40, 20) 40 20 28.000.000
(80, 0) 80 0 40.000.000
F. Rangkuman Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier
Langkah-langkah yang ditempuh untuk mendapatkan nilai optimum dari soal verbal
adalah sebagai berikut,
a. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk sistem
pertidaksamaan).
b. Tentukan himpunan penyelesaian (daerah feasible).
c. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah feasible tersebut.
d. Hitung nilai bentuk objektif untuk setiap titik pojok dalam daerah feasible.
e. Dari hasil pada langkah d, nilai maksimum atau minimum dapat ditetapkan.
Titik A ditentukan dengan cara eliminasi
atau substitusi persamaan garis 3x + 2y =
160 dan 5x + 2y = 200 diperoleh x = 20
dan y = 50.
Titik B ditentukan dengan cara eliminasi
atau substitusi persamaan garis 3x + 2y =
160 dan x + 2y = 80 diperoleh x = 40 dan
y = 20
Dari daerah penyelesaian di samping, maka
dapat disimpulkan bahwa daerah
penyelesaian tersebut tidak memiliki nilai
maksimum.
Jadi, untuk biaya minimum, mesin
I bekerja 40 hari dan mesin II
20 hari dengan biaya minimum
sebesar Rp28.000.000,00
Gambar 4-17 Daerah HP dari x + 2y ≥ 80;
3x + 2y ≥ 160; 5x + 2y > 200;
x ≥ 0 ; y ≥ 0
134 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
1. Untuk soal-soal berikut, tentukan nilai x dan y yang memberikan nilai optimum
serta nilai maksimum atau minimum dari bentuk objektif tersebut dengan
menggunakan metode titik pojok.
a. 5x + 2y ≤ 30 ; x + 2y ≤ 10 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0; bentuk objektif Z = 3x + 2y.
b. x + y ≤ 6 ; x + 3y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0; bentuk objektif Z = 20x + 30y.
c. x + 2y ≤ 8 ; 3x + 2y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0; bentuk objektif Z = x + y.
d. x + 2y ≤ 8 ; x + 2y ≤ 10 ; 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 6; bentuk objektif Z = 2x + 3y.
e. 5x + 10y ≤ 50 ; x + y ≥1 ; y ≤ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0; bentuk objektif Z = 2x + y.
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum z = 3x + 4y dari daerah feasible berikut ini
3. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan
jenis yang lain membutuhkan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Bahan yang
tersedia adalah 26,25 kg tepung dan 16,25 kg metega. Keuntungan yang
diperoleh dari hasil penjualan roti jenis pertama dan kedua masing-masing
Rp500,00 dan Rp600,00. Tentukan tiap-tiap jenis roti yang harus dibuat supaya
didapat hasil keuntungan yang maksimum.
4. Seorang pemborong merencanakan membangun 2 tipe rumah dengan ukuran T.50
dan T.70. Untuk itu, ia meminta uang muka masing-masing 1 juta untuk rumah
T.50 dan 2 juta untuk T.70 dan ia mengharapkan uang muka yang masuk paling
sedikit 250 juta rupiah dari paling sedikit 150 buah rumah yang hendak dibangunnya.
Biaya pembuatan tiap rumah adalah 50 juta untuk T.50 dan 75 juta untuk
T.70. Tentukan biaya minimal yang harus disediakan untuk membangun rumahrumah
tersebut.
5. Untuk mengangkut 60 ton barang ke tempat penyimpanan diperlukan alat
pengangkut. Untuk keperluan itu disewa dua jenis truk, yaitu jenis I dengan
kapasitas 3 ton dan jenis II dengan kapasitas 2 ton. Sewa tiap truk jenis I adalah
Rp50.000,00 sekali jalan dan Rp40.000,00 untuk jenis II. Ia diharuskan menyewa
truk itu sekurang-kurangnya 24 buah. Berapakah banyaknya tiap jenis truk yang
harus disewa agar biaya yang dikeluarkan sekecil-kecilnya dan tentukan biaya
minimum tersebut?
6. Seorang pemborong mempunyai persediaan cat warna cokelat 100 kaleng dan abuabu
240 kaleng. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mencat ruang tamu
dan ruang tidur di suatu gedung. Setelah dikalkulasi ternyata 1 ruang tamu
menghabiskan 1 kaleng cat warna cokelat dan 3 kaleng warna abu-abu. Sedang
1 ruang tidur menghabiskan 2 kaleng cat warna cokelat dan 2 kaleng warna abuabu.
Biaya yang ditawarkan pada pemborong setiap ruang tamu Rp30.000,00 dan
BAB IV Program Linier 135
tiap ruang tidur Rp25.000,00. Berapakah pendapatan maksimum yang dapat
diterima pemborong?
7. Pengusaha logam membuat logam campuran sebagai berikut.
Logam I terdiri atas baja, besi, dan aluminium dengan perbandingan 2 : 2 : 1.
Logam II terdiri atas baja, besi, dan aluminium dengan perbandingan 4 : 3 : 3.
Sedangkan baja, besi dan aluminium hanya tersedia 128 ton, 120 ton dan 90 ton.
Logam I dijual dengan harga Rp1.500.000,00 per ton dan logam II dijual dengan
harga Rp2.500.000,00 per ton. Tentukan berapa ton logam I dan logam II yang
harus diproduksi supaya mendapatkan hasil maksimum dan berapakah hasil
maksimum tersebut.
8. Seorang petani menghadapi suatu masalah sebagai berikut.
Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27,
21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis P, Q, dan R setiap harinya. Dua jenis
makanan I dan makanan II diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan
I mengandung unsur nutrisi jenis P, Q, dan R masing-masing sebesar 3, 1, dan 1
satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan II mengandung unsur nutrisi jenis P, Q,
dan R masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Harga satu kg makanan I dan
makanan II adalah Rp60.000,00 dan Rp40.000,00. Petani tersebut harus
memutuskan apakah hanya membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya
kemudian mencampurnya, agar petani tersebut mengeluarkan uang sekecil
mungkin. Buatlah model matematika dari persoalan di atas, kemudian tentukan
besarnya pengeluaran petani tersebut.
9. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt
dengan jumlah yang diangkut 224 karung. Truk dapat mengangkut 14 karung dan
colt 8 karung. Ongkos sewa truk Rp100.000,00 dan colt Rp75.000,00 tentukan
jumlah kendaraan masing-masing yang harus disewa agar ongkos minimal dan
tentukan pula ongkos minimumnya.
10. Sebuah rumah sakit untuk merawat pasiennya, setiap hari membutuhkan paling
sedikit 150.000 unit kalori dan 130.000 unit protein. Setiap kg daging sapi
mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap kg ikan segar
mengandung 300 unit kalori dan 400 unit protein. Harga per kg daging sapi dan
ikan segar masing-masing Rp40.000,00 dan Rp30.000,00. Tentukan berapa kg
daging sapi dan ikan segar yang harus disediakan rumah sakit supaya
mengeluarkan biaya sekecil mungkin.
136 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
G. Garis Selidik
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
􀂾 menjelaskan pengertian garis selidik,
􀂾 membuat garis selidik menggunakan fungsi obyektif, dan
􀂾 menentukan nilai optimum menggunakan garis selidik.
Garis selidik adalah suatu garis yang digunakan untuk menyelidiki nilai optimum
(maksimum atau minimum) yang diperoleh dari fungsi sasaran atau fungsi objektif.
Nilai optimum (maksimum dan minimum) bentuk objektif dari himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan selain dengan menggunakan metode titik pojok dapat juga
dicari dengan menggunakan garis selidik. Langkah-langkah yang diperlukan untuk
mencari nilai optimum dengan menggunakan metode garis selidik adalah sebagai
berikut
a. Buatlah garis ax + by = k, dimana ax + by merupakan bentuk objektif yang dicari
nilai optimumnya. Untuk mempermudah, ambil k = ab.
b. Buatlah garis-garis sejajar ax + by = k, yaitu dengan cara mengambil k yang
berbeda atau menggeser garis ax + by = k ke kiri atau ke kanan.
i) Jika ax + by = k1 adalah garis yang paling kiri pada daerah penyelesaian yang
melalui titik (x1, y1), maka k1 = ax1 + by1 merupakan nilai minimum.
ii) Jika ax + by = k2 adalah garis yang paling kanan pada daerah penyelesaian
yang melalui titik (x2, y2), maka k2 = ax2 + by2 merupakan nilai maksimum
bentuk objektif tersebut.
Contoh 19
Untuk menentukan maksimum dan minimum yang pertama dilakukan adalah dengan
membuat persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui yaitu 2x + 3y = 6 = k,
dan dinamai dengan garis g.
Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai
maksimum dan minimum dari fungsi objektif
z = 2x + 3y pada daerah feasible yang ditunjukkan
pada gambar 4-18
Perhatikan Gambar 4-19. Geserlah garis g
sehingga memotong daerah feasible di titik
yang paling kiri, yaitu garis g1 yang
merupakan garis yang sejajar dengan
garis g dan tepat melalui titik (1, 2).
Dengan demikian nilai minimum Z adalah
k1 = 2(1) + 3(2) = 8. Sedangkan garis g2
merupakan garis yang paling kanan dan tepat
melalui titik (5, 4). Dengan demikian nilai
maksimum Z adalah k2 = 2(5) + 3(4) = 22.
Gambar 4-18 Daerah feasible
Sistem pertidaksamaan
Gambar 4-19 titik optimum dengan
garis selidik
4 x
y
0 2
2
3
1 3 5
1
4
HP
BAB IV Program Linier 137
Contoh 20
Tentukan nilai maksimum dan minimum z = 5x + 3y dari daerah feasible yang dibatasi
oleh 3x + 2y ≤ 18; x + 2y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0; x, y ∈ R
Jawab:
Persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui, yaitu 5x + 3y = 15 = k, dan
dinamai dengan garis g.
Contoh 21
Sebuah perusahaan PT Usaha Rotanindo di Cirebon memproduksi dua jenis mebel
rotan, yaitu jenis mebel kursi dan meja. Kapasitas produksi perusahaan itu tidak
kurang dari 1000 unit barang per bulan. Dari bagian marketing diperoleh informasi
bahwa dalam tiap bulan terjual tidak lebih dari 600 unit untuk jenis kursi dan 700 unit
untuk jenis meja. Keuntungan yang diperoleh untuk tiap unit kursi adalah Rp50.000,00
dan meja sebesar Rp40.000,00. Berapakah banyaknya mebel jenis kursi dan meja
yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya?
Jawab:
Model matematika disusun dengan memisalkan
banyaknya mebel kursi yang terjual = x unit
banyaknya meja yang terjual = y unit
Banyaknya penjualan Keuntungan
x 600 50.000
y 700 40.000
1.000
Memaksimumkan keuntungan Z = 50.000x + 40.000y
Syarat produksi x + y ≥ 1.000
Syarat penjualan x ≤ 600, y ≤ 700
x ≥ 0; y ≥ 0
Perhatikan gambar 4-20 yang merupakan
daerah feasible (daerah terarsir) dari sistem
pertidaksamaan yang diketahui.
Geserlah garis g, sehingga memotong daerah
feasible di titik yang paling kiri, yaitu garis g1
yang merupakan garis yang sejajar dengan
garis g dan tepat melalui titik (0, 0). Nilai
minimum Z adalah k1 = 5(0) + 3(0) = 0.
Sedangkan garis g2 merupakan garis yang
paling kanan dan tepat melalui titik (6, 0),
sehingga nilai maksimum Z adalah
k2 = 5(6) + 3(0) = 30.
Gambar 4-20 Nilai maksimum daerah
feasible dengan garis selidik
138 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
H. Rangkuman Garis Selidik
1. Garis selidik adalah suatu garis yang digunakan untuk menyelidiki nilai optimum
(maksimum atau minimum) yang diperoleh dari fungsi sasaran atau fungsi
obyektif.
2 Langkah-langkah yang diperlukan untuk mencari nilai optimum dengan
menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut:
a. Buatlah garis ax + by = k, dimana ax + by merupakan bentuk objektif yang
dicari nilai optimumnya. Untuk mempermudah, ambil k = ab.
b. Buatlah garis-garis sejajar ax + by = k yaitu dengan cara mengambil k yang
berbeda atau menggeser garis ax + by = k ke kiri atau ke kanan.
i) Jika ax + by = k1 adalah garis yang paling kiri pada daerah penyelesaian
yang melalui titik (x1, y1) maka k1 = ax1 + by1 merupakan nilai minimum.
ii) Jika ax + by = k2 adalah garis yang paling kanan pada daerah penyelesaian
yang melalui titik (x2, y2) maka k2 = ax2 + by2 merupakan nilai maksimum
bentuk objektif tersebut.
1. Untuk soal-soal berikut, tentukan nilai x dan y yang memberikan nilai optimum
serta nilai maksimum atau minimum dari bentuk objektif tersebut dengan
menggunakan metode garis selidik.
a. x + y ≤ 5 ; x + 2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; bentuk objektif Z = 2x + y
b. 5x + 2y ≤ 10 ; x + 2y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; bentuk objektif Z = x + 2y
c. x + 2y ≤ 10 ; 2x + y ≤ 12 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; bentuk objektif Z = 3x + 2y
d. 3x + 2y ≥ 12 ; x + 5y ≥ 10 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; bentuk objektif Z = 4x + 3y
e. 2x + y ≥ 6 ; x + y ≥ 5 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; bentuk objektif Z = x + 2y
Perhatikan gambar 4-21 yang merupakan daerah
feasible (daerah terarsir) dari sistem model
matematika yang diketahui.
Geserlah garis g, sehingga memotong daerah
feasible di titik yang paling kiri, yaitu garis g1 dan
tepat melalui titik B(300, 700).
Nilai minimum Z adalah
k1 = 50.000(300) + 40.000(700) = 43.000.000
Sedangkan garis g2 merupakan garis yang paling
kanan dan tepat melalui titik (600, 700), sehingga
nilai maksimum Z adalah
k2 = 50.000(600) + 40.000(700) = 58.000.000
Gambar 4-21
Nilai maksimum daerah
feasible dengan garis selidik
BAB IV Program Linier 139
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum z = 4x + 5y dari daerah feasible berikut.
3. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan
jenis yang lain membutuhkan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Bahan yang
tersedia adalah 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Keuntungan yang diperoleh dari
hasil penjualan roti jenis pertama dan kedua masing-masing Rp400,00 dan
Rp500,00. Tentukan tiap-tiap jenis roti yang harus dibuat supaya didapat hasil
keuntungan yang maksimum dan tentukan pula keuntungan maksimum tersebut.
4. Sebuah toko sepeda menyediakan dua jenis sepeda, yaitu sepeda dengan stang
dan tanpa stang yang masing-masing harganya Rp400.000,00 dan Rp500.000,00.
Kapasitas toko tersebut tidak lebih dari 50 buah sepeda. Keuntungan dari setiap
penjualan sepeda dengan stang dan tanpa stang masing-masing Rp60.000,00 dan
Rp40.000,00. Modal yang dimiliki pemilik toko sebesar Rp23.000.000,00.
Tentukanlah:
a. banyaknya masing-masing jenis sepeda yang harus disediakan agar diperoleh
keuntungan yang sebanyak-banyaknya.
b. berapakah keuntungan maksimum tersebut.
5. Pengembang rumah sederhana menyediakan rumah tipe 21 dan tipe 36 dengan
harga jual masing-masing Rp30.000.000,00 dan Rp45.000.000,00. Luas tanah yang
diperlukan untuk membangun tipe 21 adalah 60 m2 dan tipe 36 adalah 72 m2.
Sedangkan lahan yang tersedia 20.400 m2. Biaya untuk membangun rumah-rumah
tersebut berasal dari kredit suatu bank swasta yang besarnya tidak lebih dari
Rp12.000.000.000,00. Apabila diharapkan keuntungan sebesar Rp2.250.000,00
untuk tiap unit penjualan tipe 21 dan Rp3.000.000,00 untuk tipe 36, tentukanlah:
a. banyaknya masing-masing rumah yang harus dibangun agar diperoleh
keuntunga yang sebesar-besarnya.
b. keuntungan maksimum tersebut.
A. Soal Pilihan Ganda
Pilihlah salah satu jawaban a, b, c, d, atau e yang dianggap benar.
1. Sebuah hotel mempunyai dua tipe kamar yang masing-masing berdaya tampung
3 orang dan 2 orang. Jika jumlah kamar seluruhnya 32 kamar dan daya tampung
keseluruhan 84 orang, maka banyaknya kamar yang berdaya tampung 2 orang
adalah . . . .
a. 6 c. 14 e. 20
b. 12 d. 16
140 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2 15
6
-4
0 X
y
2. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunyai persediaan 80 kaleng cat
warna putih dan 60 kaleng warna abu-abu. Pemborong tersebut mendapat tawaran
untuk mengecat ruang tamu dan ruang tidur. Setelah dihitung ternyata 1 ruang
tamu menghabiskan 2 kaleng cat putih dan 1 kaleng abu-abu. Sedangkan ruang
tidur menghabiskan masing-masing 1 kaleng. Jika banyaknya ruang tamu
dinyatakan dengan x dan ruang tidur dengan y, maka model matematika dari
pernyataan di atas adalah . . . .
a. 2x + y ≤ 80 ; x + y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. x + y ≤ 80 ; 2x + y ≥ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. x + y ≤ 80 ; 2x + y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
d. 2x + y ≥ 80 ; x + y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
e. 2x + y ≤ 80 ; x + y ≥ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
3. Daerah penyelesaian model matematika
yang ditunjukkan oleh sistem
pertidaksamaan:
5x + 2y ≤ 20; 7x + 10y ≤ 70
2x + 5y ≥ 20;
x ≥ 0; y ≥ 0
adalah daerah yang ditunjukkan oleh . . . .
a. I c. III e. V
b. II d. IV
4. Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x + 3y dari sistem pertidaksamaan
2x + y ≥ 11; x + 2y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah . . . .
a. 15 c. 25 e. 40
b. 22 d. 33
5. Suatu pesawat mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap
penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan kelas ekonomi
20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Bila x dan y berturutturut
menyatakan banyaknya penumpang kelas utama dan ekonomi, maka model
matematika dari persoalan di atas adalah . . . .
a. x + y ≤ 48 ; 3x + y ≥ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. x + y ≤ 48 ; x + 3y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. x + y ≤ 48 ; 3x + y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
d. x + y ≥ 48 ; x + 3y ≥ 72; x ≥ 0 ; y ≥ 0
e. x + y ≥ 48 ; x + 3y > 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
6. Daerah yang diarsir dari gambar di samping
adalah himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan . . . .
a. 5x + 3y ≤ 30; x – 2y ≥ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. 5x + 3y ≤ 30; x – 2y ≤ 4; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. 5x + 2y ≤ 30; 2x – y ≤ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
d. 2x + 5y ≤ 30; 2x – y ≤ 4; x ≥ 0 ; y ≥ 0
e. 5x + 3y ≤ 30; x – 2y ≤ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
BAB IV Program Linier 141
7. Daerah yang diarsir pada gambar di samping
adalah himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk 5x + 4y
dari daerah penyelesaian tersebut adalah . . . .
a. 16 c. 20 e. 24
b. 18 d. 22
8. Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak mempunyai modal
Rp1.000.000,00. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp4.000,00 per kg dan
pisang Rp1.600,00 per kg. Banyaknya jeruk yang dibeli x kg dan pisang y kg.
Sedangkan muatan gerobak tidak dapat melebihi 400 kg sehingga sistem
pertidaksamaan yang memenuhi permasalahan di atas adalah . . . .
a. 5x + 4y ≤ 2.500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. 5x + 4y ≤ 1.250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. 5x + 2y ≤ 1.250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
d. 5x + 4y ≤ 1.200 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
e. 5x + y ≤ 750 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
9. Daerah penyelesaian model matematika yang
ditunjukkan sistem pertidaksamaan
3x + 2y ≥ 12; x + 2y ≤ 8; 0 ≤ x ≤ 8; y ≥ 0
adalah daerah yang ditunjukkan oleh . . . .
a. I c. III e. V
b. II d. IV
10. Pak Daud membeli es krim jenis I dengan harga per buah Rp500,00 dan jenis II
Rp400,00. Lemari es yang dipunyai untuk menyimpan es tersebut tidak dapat
memuat lebih dari 300 buah, sementara uang yang dimiliki Pak Daud adalah
Rp140.000,00. Jika es krim tersebut dijual kembali dengan mengambil untung
masing-masing jenis Rp100,00 per buah, maka banyaknya es krim jenis I dan II
yang dijual Pak Daud jika terjual seluruhnya dan mendapat untung yang sebesarbesarnya,
masing-masing adalah. . . .
a. 200 dan 100 c. 100 dan 200 e. 50 dan 250
b. 150 dan 150 d. 75 dan 225
11. Tempat parkir seluas 360 m2 dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan.
Untuk parkir sebuah sedan diperlukan rata-rata 6 m2 dan sebuah bus 24 m2. Jika
banyaknya sedan dinyatakan dalam x dan bus y, maka model matematika dari
pernyataan di atas adalah . . . .
a. x + y ≤ 30 ; x + 4y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. x + y < 30 ; x + 4y < 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c. x + y ≤ 30 ; 4x + y < 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
d. x + y < 30 ; 4x + y < 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
e. x + y ≤ 30 ; 4x + y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
142 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
12. Daerah yang diarsir pada gambar di
samping merupakan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linier. Nilai maksimum
fungsi objektif f(x,y) = x + 3y adalah . . . .
a. 8 c. 14 e. 22
b. 10 d. 18
13. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
3x + 2y ≤ 36; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
Pada gambar di samping adalah . . . .
a. I c. III e. V
b. II d. IV
14. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m seorang penjahit akan
membuat pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain
bergaris, model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 kain bergaris. Jumlah total
pakaian jadi akan maksimum, jika model I dan II masing-masing . . . .
a. 4 dan 8 c. 6 dan 4 e. 7 dan 5
b. 5 dan 9 e. 8 dan 8
15. Nilai maksimum dari bentuk objektif f(x,y) = x + 3y pada himpunan penyelesaian
pertidaksamaan 2x + y ≤ 8; x + 2y ≥ 7; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah . . . .
a. 4 c. 16 e. 24
b. 12 d. 18
16. Daerah yang diarsir adalah himpunan
penyelesaian permasalahan program
linier. Nilai maksimum dari z = 40x + 30y
adalah . . . .
a. 15.000
b. 16.000
c. 18.000
d. 20.000
e. 24.000
17. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan
x + 2y ≤ 6; 3x + y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0
adalah . . . .
a. I d. IV
b. II e. V
c. III
18. Seorang pemborong mempunyai persediaan cat warna cokelat 100 kaleng dan
warna abu-abu 240 kaleng. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mencat
12
x 6 4
3
y
III IV
II I
V
0
BAB IV Program Linier 143
ruang tamu dan ruang tidur suatu gedung. Setelah dikalkulasi ternyata 1 ruang
tamu menghabiskan 1 kaleng cat warna cokelat dan 3 kaleng cat warna abu-abu.
Sedangkan ruang tidur menghabiskan 2 kaleng cat warna cokelat dan 3 kaleng cat
warna abu-abu. Jika biaya yang ditawarkan pemborong setiap ruang tamu
Rp30.000,00 dan ruang tidur Rp25.000,00, maka biaya maksimum yang diterima
pemborong adalah . . . .
a. Rp1.250.000,00 c. Rp2.400.000,00 e. Rp3.100.000,00
b. Rp2.300.000,00 d. Rp3.000.000,00
19. Nilai minimum fungsi objektif Z = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
2x + 3y ≥ 12; 5x + 2y ≥ 19; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah . . . .
a. 38 c. 18 e. 15
b. 32 d. 17
20. Daerah penyelesaian model matematika dari sistem
Pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12; 5x + 2y ≥ 19
x ≥ 0; y ≥ 0 ditunjukkan oleh grafik disamping pada
angka . . . .
a. I c. III e. V
b. II d. IV
21. Sebuah perusahaan bola lampu menggunakan 2 jenis mesin. Untuk membuat bola
lampu jenis A memerlukan waktu 3 menit pada mesin I dan 5 menit pada mesin II.
Bola lampu jenis B memerlukan waktu 2 menit pada mesin I dan 7 menit pada
mesin II. Jika mesin I bekerja 1.820 menit dan mesin II bekerja 4.060 menit, maka
model matematika dari permasalahan di atas adalah . . . .
a. 3x + 5y ≤ 1.820, 2x + 7y ≤ 4.060, x ≥ 0, y ≥ 0
b. 3x + 7y ≤ 1.820, 2x + 2y ≤ 4.060, x ≥ 0, y ≥ 0
c. 3x + 5y ≤ 4.060, 2x + 7y ≤ 1.820, x ≥ 0, y ≥ 0
d. 3x + 2y ≤ 1.820, 5x + 7y ≤ 4.060, x ≥ 0, y ≥ 0
e. 3x + 7y ≤ 4.060, 2x + 5y ≤ 1.820, x ≥ 0, y ≥ 0
22. Daerah yang diarsir adalah daerah
himpunan penyelesaian
permasalahan program linier. Nilai
minimum dari fungsi z = 2x + 5y
adalah . . . .
a. 6 c. 10 e. 29
b. 7 d. 15
x
y
C(3, 0)
D(5, 1)
E(2, 5)
B(1,1)
A(0,2)
0
HP
23. Nilai maksimum bentuk objektif x + 3y pada himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≥ 7, dan 2x + y ≤ 8, adalah . . . .
a. 20 c. 28 e. 33
II
V
IV
III
I
x
y
0
2x + 3y = 12
5x + 2y = 20
144 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
x
y
0 2 4 6 8
2
4
b. 24 d. 30
24. Daerah yang diarsir pada gambar di samping
merupakan himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan . . . .
a. x – 2y ≥ -2, 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
b. x – 2y ≤ -2, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
c. -2x + y ≥ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
d. -2x + y ≤ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
e. x – 2y ≤ -2, 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
25. Perhatikan gambar di samping,
yang merupakan himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan berikut 2x + y ≤ 24;
x + 2y ≥ 12; x – y ≥ -2, x ≥ 0; y ≥ 0
adalah daerah . . . .
a. I c. III e. V
b. II d. IV
26. Nilai maksimum Z = 3x + 4y dari daerah feasible pada gambar di bawah ini terjadi
di titik . . . .
a. O
b. A
c. B
d. C
e. D
27.
28. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ditunjukkan pada gambar di
x
y
-2 12
24
6
2 I II
III
IV
V
Titik-titik pada gambar di samping
merupakan grafik himpunan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan. Nilai
maksimum dari z = 3x + 5y adalah . . . .
a. 10 c. 32 e. 44
b. 18 d. 36
samping (daerah terarsir). Sistem
pertidaksamaan dari daerah feasible tersebut
adalah . . . .
a. 3x + 2y ≤ 21, -2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
b. 2x + 3y ≤ 21, -2x – 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
c. -3x + 2y ≥ 21, -2x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
d. -3x – 2y ≥ 21, 2x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
e. 3x – 2y ≥ 21, 2x – 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
BAB IV Program Linier 145
29. Seorang pedagang kue mempunyai persediaan 9 kg tepung dan 6 kg mentega.
Pedagang memproduksi kue jenis isi pisang dan isi keju. Untuk membuat kue
jenis isi pisang memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan
jenis isi keju memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Apabila harga
sebuah kue jenis isi pisang Rp6.000,00 dan isi keju Rp4.000,00, maka keuntungan
maksimum pedagang adalah . . . .
a. Rp30.000,00 c. Rp36.000,00 e. Rp42.000,00
b. Rp32.000,00 d. Rp40.000,00
30. Nilai minimum z = 2x + 3y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
2x + y ≥ 8, x + y ≥ 6, x + 2y ≥ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah . . . .
a. 12 c. 16 e. 24
b. 14 d. 20
31. Nilai minimum dari bentuk objektif P = 4x + 3y pada daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan: 2x + 3y > 9 ; x + y > 4 ; x > 0 ; y > 0 adalah . . . .
a. 12 c. 15 e. 18
b. 13 d. 16
32. Seseorang memproduksi kecap dengan dua macam kualitas yang setiap harinya
menghasilkan tidak lebih dari 50 botol. Harga bahan-bahan pembuatan kecap per
botol untuk kualitas I adalah Rp4.000,00 dan untuk kualitas II adalah Rp3.000,00.
Ia tidak akan membelanjakan untuk pembuatan kecap tidak lebih dari
Rp200.000,00. Jika banyaknya kecap kualitas I adalah x dan kualitas II adalah y,
maka model matematikanya adalah . . . .
a. x + y < 50 ; 4x + 3y < 200 ; x > 0 ; y > 0
b. x + y < 50 ; 3x + 4y < 200 ; x > 0 ; y > 0
c. x + y > 50 ; 4x + 4y < 200 ; x > 0 ; y > 0
d. x + y > 50 ; 4x + 3y > 200 ; x > 0 ; y > 0
e. x + y > 50 ; 3x + 4y > 200 ; x < 0 ; y < 0
33. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt
dengan jumlah yang diangkut 224 karung. Truk dapat mengangkut 14 karung dan
colt 8 karung. Jika ongkos sewa truk Rp100.000,00 dan colt Rp75.000,00, jumlah
kendaraan masing-masing yang harus disewa agar ongkos minimal adalah . . . .
a. Colt 25 buah dan tidak disewa truk d. Colt 4 buah dan truk 21 buah
b. Colt 20 buah dan truk 5 buah e. Hanya disewa truk 25 buah
c. Colt 21 buah dan truk 4 buah
146 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
34. Rokok A yang harga belinya Rp2.000,00 per bungkus dijual dengan laba Rp400,00
per bungkus, sedangkan rokok B harga belinya Rp1.000,00 dijual dengan laba
Rp300,00 per bungkus. Seorang pedagang rokok mempunyai modal Rp800.000,00
dan kiosnya dapat menampung 500 bungkus rokok, akan memperoleh keuntungan
sebesar-besarnya jika ia dapat menjual . . . .
a. 300 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B
b. 200 bungkus rokok A dan 300 bungkus rokok B
c. 250 bungkus rokok A dan 250 bungkus rokok B
d. 100 bungkus rokok A dan 400 bungkus rokok B
e. 400 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B
35. Suatu Perusahaan mebel akan memproduksi meja dan kursi dari kayu. Untuk
sebuah meja dan kursi dibutuhkan masing-masing 10 keping papan dan 5 keping
papan. Sedangkan biaya sebuah meja adalah Rp60.000,00 dan kursi Rp40.000,00.
Perusahaan itu hanya memiliki bahan 500 keping papan dan biaya produksi yang
akan dikeluarkan tidak lebih dari Rp3.600.000,00. Jika banyaknya meja yang
diproduksi x buah dan kursi y buah, maka model matematika perusahaan di atas
adalah . . . .
a. 2x + y 􀂔 100 ; 3x + 2y 􀂔 180 ; x 􀂕 0 ; y 􀂕 0
b. x + 2y 􀂕 100 ; 2x + 3y 􀂔 180 ; x 􀂕 0 ; y 􀂕 0
c. 6x + 4y 􀂔 180 ; 10x + 5y 􀂔 180 ; x 􀂕 0 ; y 􀂕 0
d. 4x + 6y 􀂔 180 ; 5x + 10y 􀂔 180 ; x 􀂕 0 ; y 􀂕 0
e. 2x + y 􀂔 100 ; 5x + 10y 􀂔 180 ; x 􀂕 0 ; y 􀂕 0
36. Daerah yang diasir pada gambar di samping adalah
himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan … .
a. 2x + 3y < 12 ; -3x + 2y > -6 ; x > 0 ; y > 0
b. 2x + 3y < 12 ; -3x + 2y < -6 ; x > 0 ; y > 0
c. 2x + 3y > 12 ; -3x + 2y >-6 ; x >0 ; y > 0
d. 2x + 3y >12 ; 3x – 2y > 6 ; x > 0 ; y > 0
e. -2x + 3y < 12 ; 3x + 2y < -6 ; x > 0 ; y > 0
37. Diketahui fungsi objektif Z = 100x + 80y. Nilai maksimum Z pada daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y < 10; x+ 2y < 10; x + y < 6;
x > 0; y > 0; x, y ∈ R adalah . . . .
a. 400 c. 500 e. 560
b. 450 d. 520
38. Diketahui fungsi objektif P = 100x + 150y. Nilai minimum P pada daerah
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:
3x + y > 9; x+ y > 7; x + 4y < 10; x > 0; y > 0; x, y ∈ R adalah . . . .
a. 700 c. 1000 e. 1500
b. 750 d. 1350
39. Seorang agen sepeda bermaksud membeli 25 buah sepeda untuk persedian. Harga
sepeda biasa Rp600.000,00 per buah dan sepeda federal Rp800.000,00 per buah.
Ia merencanakan untuk tidak membelanjakan uangnya lebih dari Rp16.000.000,00
BAB IV Program Linier 147
dengan mengharap keuntungan Rp100.000,00 perbuah dari sepeda biasa dan
Rp120.000,00 per buah dari sepeda federal. Keuntungan maksimum yang diperoleh
agen sepeda tersebut adalah . . . .
a. Rp2.300.000,00 c. Rp2.500.000,00 e. Rp2.700.000,00
b. Rp2.400.000,00 d. Rp2.600.000,00
40. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling
sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut
dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan tiap pasang sepatu laki-laki adalah
Rp10.000,00 dan tiap pasang sepatu wanita adalah Rp5.000,00. Jika banyak sepatu
laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka keuntungan terbesar yang dapat
diperoleh adalah . . . .
a. Rp2.750.000,00 c. Rp3.250.000,00 e. Rp3.750.000,00
b. Rp3.000.000,00 d. Rp3.500.000,00
B. Soal Essay
Jawablah pertanyaan berikut dengan tepat.
1. Pengembang perumahan mempunyai tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun tidak
lebih dari 125 unit rumah tipe 36 dan 45. Tipe 36 dan 45 memerlukan luas tanah
masing-masing 75 m2 dan 100 m2. Rumah-rumah tersebut akan dijual dengan
harga per unit Rp40.000.000,00 untuk tipe 36 dan Rp60.000.000,00 untuk tipe 45.
a. Misalkan banyaknya rumah tipe 36 dan 45 yang dapat dibangun adalah x dan y
buatlah model matematika dari persoalan di atas.
b. Tentukan daerah penyelesaiannya (daerah feasible)
c. Tentukan bentuk objektif yang menyatakan hasil penjualan rumah.
d. Berapakah masing-masing tipe yang harus dibangun agar mendapatkan
keuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum).
e. Berapakah keuntungan maksimum tersebut.
2. Sebuah pabrik memproduksi biskuit yang dikemas dalam bentuk kaleng dengan isi
1 kilogram dan 2 kg. Kapasitas produksi tiap hari tidak lebih dari 120 kaleng. Tiap
hari biskuit dengan kemasan 1 kg tidak kurang dari 30 kaleng dan kemasan 2 kg
50 kaleng. Keuntungan dari hasil penjualan Rp5.000,00 per kaleng dengan isi 1 kg
dan Rp7.000,00 untuk kemasan isi 2 kg. Misalkan banyaknya produksi tiap jenis
adalah x dan y. Tentukanlah:
a. model matematika dari persoalan tersebut
b. himpunan penyelesaian (daerah feasible) dari hasil pada a.
c. banyaknya produksi masing-masing jenis agar diperoleh keuntungan
maksimum dan berapakah keuntungan maksimumnya
148 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Ruang Pengetahuan
TIPS DAN TRIK MELAMAR KERJA
Gambar 4-22 Karyawan kantor
Sumber: CD Image
Jadi, jangan membuat surat lamaran yang membingungkan dengan bermacam-macam
keterangan dalam satu bagian. Setidaknya ada empat bagian penting harus
dicantumkan.
Catatan: Tiap kop surat lamaran, biasanya berisi nama, alamat, nomor telepon, serta
e-mail. Baru kemudian posisi yang kalian inginkan.
a. Panjang
Setiap lamaran/CV sebaiknya jangan sampai melebihi tiga lembar. Lebih baik dua
lembar saja.
b. Lampiran
Tiap sertifikat ijazah, atau surat-surat referensi tidak perlu dimasukkan dalam surat
lamaran. Kalian harus menunjukkannya saat datang dalam wawancara. Bila
memang ingin melengkapi salah satu dokumen akademik, lampirkan ijasah terakhir
serta referensi kerja sekarang. Sementara soal pas foto, yang paling populer
digunakan selama ini memang seukuran pas foto untuk pasport. Namun, soal
ukuran ini biasanya ditentukan oleh pemasang iklan dan biasanya tidak menjadi
masalah.
c. Lamaran Lewat E-mail
Dengan berkembangnya internet, lamaran lewat Internet seperti sekarang juga
sangat populer. Banyak perusahaan di Indonesia saat ini juga menerima lamaran
lewat e-mail ini. Untuk lamaran lewat e-mail ini, kalian juga dapat melampirkan
seluruh biodata itu lewat e-mail.
d. Cover Surat
Kerapian serta bentuk surat ternyata menjadi bagian sangat penting. Ada sebagian
orang yang menganggap bahwa wawancara merupakan bagian paling menentukan,
tidak peduli apakah surat lamarannya baik atau jelek. Padahal dengan membuat
lamaran bagus serta keterangan jelas dan singkat, merupakan salah satu bukti
keseriusan Kalian meraih posisi yang diinginkan.(www.astaga.com).
Lamaran yang kita buat memang
harus sesingkat mungkin, namun
tetap bisa memasukkan semua unsur
yang diperlukan seperti disebutkan di
atas tadi. Soalnya, pemeriksaan lamaran
biasanya dilakukan cepat, serta si
pemeriksa hanya melihat hal-hal yang
dibutuhkan atau yang menjadi persyaratan.
Dengan pertimbangan itu,
kemungkinan kalian dapat diterima
juga sangat besar, karena menunjukkan
kalau kalian merupakan calon
pegawai potensial, dengan potensi
yang kalian miliki tersebut.
Kunci Jawaban Soal-soal Pilihan 149
KUNCI JAWABAN BAB 1
SISTEM BILANGAN REAL
Latihan 1
1. a. 45% ;
20
9
c. 2,5% ;
40
1
e. 0,15% ;
2.000
3
3. a
9
8
c.
9
2
e.
111
70
g.
45
46
i.
18
1
5. a
10
57
c.
36
5
e.
6
23
g.
12
13
i.
3
2
k.
42
235
7. Warisan masing-masing adalah Rp40.000.000,00;
Rp30.000.000,00;
Rp24.000.000,00; dan
Rp26.000.000,00.
9. Rp10.295.000,00
11. Rp360.000,00
13. Rp250.000,00
15. Rp2.662.500,00
Latihan 2
1. 3 sak
3. 1 meter
5. Tembaga = 60%; Timah hitam = 10% dan Timah putih = 30%
7. 540 km
9. a. 1 : 25 c. 1 : 3 e. 35 : 51 g. 2 : 1 i. 1 : 5 k. 4 : 15
11. Rp1.400.000,00
13. 1,25 meter
15. 2.000 m2
17. Neni = Rp150.000,00 ; Marliana = Rp60.000,00 dan Devi = Rp180.000,00
19. 100 pekerja
21. Rp150.000,00
150 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Latihan 3
1. 76 11.
5
2
21. 223 31. 2
3. 34 13. 1011
1
23. 81 33. 39
5.
5
1
15. 52 . 22 25. 100.000 35. 10
7. 28
1
17. 23 . 52 27. 162 37. 13.310
9. 105 19. 72. 33 29. 9 41. a. x =
2
5
; b = -1
Latihan 4
1. 27 3 10. 15 10 + 50 19. 168 31. 5
3. 5 + 12 7 12. 16 15 + 120 21. 14 10 33. 2( 13 – 2 2 )
5. 18 3 − 54
13. 5 + 2 6
25. 93 35. -11 – 2 30
7. 15 6 15. 1 27. 10 10 37. 0,8
8. 13 11 17. 15 29. 90 39. 6 + 3 3
Latihan 5
1. a. 3 c. 3 e. 1,5 g. -3
3. a. 1,380 c. 0,1761 e. 1,9542
5. a. 0,3729 c. 4,7482 e. 0,5378 – 3 g. 0,9443
7. a = 3 c.
3
4
− e.
3
2
− g. 4,5
9. a. 280,2
Uji Kemampuan
1 E 11 E 21 C 31 A 41 A
2 D 12 A 22 D 32 B 42 B
3 D 13 E 23 B 33 E 43 E
4 C 14 A 24 B 34 D 44 A
5 B 15 C 25 A 35 B 45 D
6 E 16 A 26 B 36 D 46 E
7 B 17 B 27 C 37 B 47 B
8 E 18 B 28 E 38 D 48 D
9 D 19 A 29 C 39 E 49 B
10 D 20 A 30 D 40 C 50 D
Kunci Jawaban Soal-soal Pilihan 151
KUNCI JAWABAN BAB 2
PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN
Latihan 1
1. a. x = -20 k. x = 9
c. x = -17 m. x =
2
23
e. x = 13 o. x =
2
23
g. x = -4 q. x =
5
144
i. x =
10
11
s. x =
4
27
−
3. a. { x | x > - 3} k. { p | p > -
5
11
}
c. { x | x > - 20} m. { x | x >
6
5
}
e. { x | x > - 12} o. { x | x < -
7
4
}
g. { x | x > 0 } q. { x | x > - 66}
i. { x | x <
5
16
− } s. { x | x >
5
16
− }
5. a. {(
2
3
,
2
1
− )} g. {(
2
7
,
2
1
− )}
c. {(-2 , 1)} i. {( 7 , - 4)}
e. {(3 , - 2)}
7. a. Meja = $15 , Kursi = $5, Harga 1 meja + 1 kursi = $20
c. Bilangan tersebut adalah 40 dan 15
e. Banyak murid laki-laki = 37 orang dan murid perempuan = 15 orang
g. Umur anak sekarang = 10 tahun dan umur ayahnya sekarang = 35 tahun
Latihan 2
1. x1 = 1 dan x2 = 6 27. x1 = -2 dan x2 = 2
3. x1 = -2 dan x2 = 2 29. x1 =
2
9
− dan x2 = -1
152 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
5. x1 = -3 dan x2 = 2 31. x1 =
2
−1 + 7
dan x2 =
2
−1 − 7
7. x1 = 30
5
1
dan x2 = - 30
5
1
33. x1 = -4 dan x2 = 0,5
9. x1 = -5 dan x2 = 2 35. x1,2 = 3
11. x1 =
2
1
− dan x2 = -3 37. x1 = 0 dan x2 = 2
13. x1 =
2
3
− dan x2 = -1 39. x1 = -1 dan x2 = 2
15. x1 =
9
8
dan x2 = 2 41. x1 = 2 dan x2 = 4
17. x1 = -3 dan x2 =
3
7
43. x1 =
3
2
− dan x2 =
2
3
19. x1 =
2
3
− dan x2 = 2 45. x1 =
3
1
− dan x2 = 3
21. x1 = -2 dan x2 = 5 47. x1 = -1 dan x2 =
3
4
23. x1 = -6 dan x2 = 2 49. x1 = -3 dan x2 = 3
25. x1 = -1 + 5 dan x2 = -1 – 5 51. c = 1, akar lainnya 1
53. m1 = -6 dan m2 = 8
55. Persamaan kuadratnya adalah 3x2 + 7x – 6 = 0 dan akar-akarnya adalah x1 = - 3
dan x2 =
3
2
57. Persamaan kuadratnya adalah 3x2 – 14x + 15 = 0, akar-akarnya adalah x1 = 3
dan x2 =
3
5
59. {x | -3 < x < 1 } 69. {x | -11 < x < 4 }
61. {x | 1 < x < 7 } 71. {x | - 4 < x < 10 }
63. {x | -2 < x < 13 } 73. {x | x∈ R }
65. {x | x < -2 atau x >
2
1
} 75. {x | - 5 < x <
2
7
}
67. {x | x < 1 atau x >
2
5
}
Latihan 3
1. a. D = 0, akar-akarnya sama atau kembar
c. D = -3, akar-akarnya tidak real atau akar-akarnya imajiner
e. D = 40, akar-akarnya real dan berbeda
3. a. -4 b. 3 c. 10 d. -12 e.
3
10
f.
3
4
−
5. a. 1 b. 0 c. 1 d. 0 e. 1 f. tidak terdefinisi
Kunci Jawaban Soal-soal Pilihan 153
Latihan 4
1. a. x2 – x – 6 = 0 g. x2 – 1 = 0
c. x2 – 2 = 0 i. x2 – 8x + 4 = 0
e. 5x2 – 27x + 10 = 0
3. 5x2 – 4x + 1 = 0
5. 4x2 – 13x + 1 = 0
7. Ukuran tanah Pak Ali adalah 250 m x 40 m dan ukuran tanah Ibu Selvi adalah
50 m x 50 m
Uji Kemampuan
1 B 11 E 21 B
2 C 12 E 22 E
3 E 13 C 23 A
4 E 14 E 24 D
5 C 15 D 25 C
6 C 16 B 26 C
7 B 17 E 27 C
8 B 18 B 28 B
9 E 19 C 29 B
10 D 20 A 30 A
KUNCI JAWABAN BAB 3
MATRIKS
Latihan 1
1. a. 4 c. 1, 4, -3, 0 dan 10 e. -6, -3, -8 dan 6 g. -3 i. kolom ke-5
3. a . 2 x 2 b. 4 x 1 c. 4 x 2 d. 1 x 3
5. a. x = 3 dan y = -4 c. x = 2 dan y = -3 e. x = 2 dan y = -3
b. x = 2 dan y = -1 d. x =1, y = -2 dan z = 2 f. x = -3, y = 2,5 dan z =
12
1
−
7. w = -0,75 x = 0,5 y = -0,5 z = -2
Latihan 2
154 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
1. a. c. e. g. i. ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
3 4
7 2
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
9 − 6
1 13
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
− −
13 6
1 9
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
6 4
4 11
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎛
−
−
10
1
⎝
−
6
12
28
14 7
5. a.
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
3
6 4
c. e. g. i.
. a
⎞
⎜ ⎛
2 7
c.
⎞
⎜ ⎜ ⎛
3 6 4
10 20 6
e. ⎜
⎜
⎛
−
−
−
8
20 6 18
10 3 9
.
= 1, b dan d =
b. a = -8, b = 8,5, c = -15 dan d = 4,75
⎜ 22 17 ⎜ 0 56 ⎜⎝
31 27
1. a. 8 c. -6 e. 37
3. a. x = 14 c. x = -15 f. x =
3. a. ⎟
⎟⎠
c. ⎟
⎟⎠
e. ⎟
⎟⎠
35
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 8 −10
4 2 ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 2 − 2,5
1 0,5 ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
⎟ ⎟⎠
− 24 ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
6 12
10 48
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 9 0
6 8
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
7 24
3 7
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−19 6
4 53
8 . ⎟
⎟⎠
⎜⎝
6 2 ⎟⎠
⎜⎝
− − − 8 18 9 ⎜⎝
6 4
⎟ ⎟
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
12 33
15 18
9
11. a. a = -1, c = 11 10,5
13. a.
⎞
⎜ ⎛
3 25
c.
⎞
⎜ ⎛
8 68
e.
⎞
⎜ ⎛
37 − 45
⎟ ⎟⎠
⎝ ⎝ ⎠
⎟ ⎟
⎟ ⎟⎠
Latihan 3
7
8
5. a. Minor : M11 = -2, M12 = 0, M21 = 4 dan M22 = 3
Matriks kofaktor =
−
−
4 3
2 0
dan Matriks adjoin =
−
0 3
2 4
inor : M11 12 = -7, M M22 = -5
Matriks kofaktor = dan Matriks adjoin =
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ ⎛−
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
c. M = 6, M 21 = 4 dan
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− 4 − 5
6 7
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
7 5
6 4
Kunci Jawaban Soal-soal Pilihan 155
7. a. ⎟ ⎟
⎞
⎜ ⎜ ⎛
2 − 3
⎝ 1 2 ⎠
c.
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛− −
3
4
3
1
3
7
3
1
f.
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛− −
3
4
3
1
3
7
3
1
−
g. (P.Q)–1 = Q–1. P–1
Latihan 4
an y = -2
. x = 3 dan y = -1
. x = 1, y = -2 dan z = 3
⎜⎝
− 3
e.
13. Kualitas A harganya Rp1.000,00
Kualitas B harganya Rp3.000,00
Uji Kemampuan
4 B 14 A
5 C 15 A
16 C
17 D
8 E 18 C
9 A 19 E
10 B 20 A
1. x = 3 d
3. x = -5 dan y =1
5. x = -4 dan y = 1
7
9
11. a. ⎟
⎞
⎜ ⎛
2
c. ⎟⎠
( ) 3 5 − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− −
−
7 18 10
4 11 5
1 A 11 A 21 D
2 E 12 D 22 D
3 C 13 E 23 E
24 D
25 B
6 C
7 B
KUNCI JAWABAN BAB 2
PROGRAM LINEAR
1
≤ <
y 3
1 x 4
c. ⎪
⎪
⎨
⎧
≤ ≤
+ ≥
+ ≥
0 x 3
2x y
x 2y
e.
Latihan
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥ ≥
+ ≤
+ ≤
x 0 ; y 0
2x y 8
2x 3y 12
2
4. a.
⎩ ⎨
1 ≤
⎧
≤
⎪ ⎪
⎩ 0 ≤ y ≤ 3
156 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
⎧ x + y ≤ 2 x + 2y ≤ 8
b.
⎪ ⎨
3x + y ≤ 3 ≤ 6
x ≥ 0 ; y ≥ 0
d. +
y 0
x y
man jagung
aman kedelai y, maka:
⎧ x + 2y ≤ 60
3. Misalkan jumlah pakaian model A = x
ian model B = y, maka:
Fungsi kendalanya: + ≤
+ ≤
3x y 20
x 2y 20
5. Misalkan jumlah rumah tipe 1 = x
ah tipe 2 = y, maka:
Fungsi kendalanya: + ≤
+ ≤
2x 3y 320
x 2y 120
00y
7. Misalkan jumlah mobil yang parkir = x
yang parkir = y, maka:
Fungsi kendalanya: + ≤
+ ≤
x 4y 60
x y 20
Fungsi sasaran: Z = 3.000x + 5.000y
jumlah jas yang dibuat = x
⎩
⎪
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
Latihan 2
1. Misalkan jumlah tana = x
jumlah tan =
Fungsi kendalanya ⎪⎨
6x + 5y ≤ 240
⎪⎩
x ≥ 0 ; y ≥ 0
Jumlah paka
⎪⎩
x ≥ 0 ; y ≥ 0
⎪⎨
⎧
Fungsi sasaran: Z = 15.000x + 10.000y
Jumlah rum
⎪⎩
x ≥ 0 ; y ≥ 0
⎪⎨
⎧
Fungsi sasaran: Z = 500.000x + 700.0
Jumlah bus
⎪⎩
x ≥ 0 ; y ≥ 0
⎪⎨
⎧
9. Misalkan
Jumlah rok yang dibuat = y, maka:
⎧ 3x + y ≤ 30
Fungsi kendalanya:⎪⎨
x + y ≤ 20
⎪⎩
x ≥ 0 ; y ≥ 0
2
Fungsi sasaran: Z = 75.000x + 50.000y
Kunci Jawaban Soal-soal Pilihan 157
Latihan 3
1. a. Titik minimum (0, 0) dengan nilai minimum 0
Titik maksimum (5,
2
) dengan nilai maksimum 20
b. Titik minimum (0, 0) dengan nilai minimum 0
Titik maksimum (0, 6
5
) dengan nilai maksimum 180
. Untuk mendapatkan keuntungan maksimal, maka roti jenis pertama dibuat
engeluarkan biaya seminimal mungkin, maka truk jenis pertama dan kedua
iaya minimal Rp1.080.000,00
. Untuk mendapatkan keuntungan maksimal, maka logam jenis pertama dibuat
k 8 buah dengan hasil maksimal
k yang disewa 4 buah dan
p1.975.000,00
c. Titik minimum (0, 0) dengan nilai minimum 0
Titik maksimum (2, 3) dengan nilai maksimum 5
e. Titik minimum (0, 1) dengan nilai minimum 1
Titik maksimum (10, 0) dengan nilai maksimum 20
3
sebanyak 100 buah dan roti jenis kedua sebanyak 150 buah dengan keuntungan
maksimal Rp140.000,00
5. Untuk m
disewa masing-masing sebanyak 12 buah dengan b
7
sebanyak 48 buah dan logam jenis kedua sebanya
Rp92.000.000,00
9. Untuk mengeluarkan biaya seminimal mungkin, maka tru
colt yang disewa 21 buah dengan sewa minimal R
Latihan 4
1. a. Titik minimum (0, 0) dengan nilai minimum 0
Titik maksimum (5, 0) dengan nilai maksimum 10
c. Titik minimum (0, 0) dengan nilai minimum 0
Titik maksimum (6, 0) atau (
3
8
,
14
) denga
3
n nilai maksimum 18
m (5, 0) dengan nilai minimum 5
Titik dan nilai maksimum tidak ada.
3. Untuk mendapatkan keuntungan maksimal, maka roti jenis pertama dibuat
sebanyak 30 buah dan roti jenis kedua sebanyak 150 buah dengan keuntungan
maksimal Rp42.000,00
5. a. Rumah tipe 21 sebanyak 100 buah dan type 36 sebanyak 200 buah
b. Keuntungan maksimum Rp825.000.000,00
Uji Kemampuan
e. Titik minimu
158 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
1 B 11 A 21 D 31 E
2 A 12 D 22 A 32 A
3 B 13 A 23 B 33 C
4 C 14 A 24 A 34 A
5 C 15 E 25 B 35 A
6 D 16 C 26 E 36 D
7 D 17 A 27 D 37 E
8 C 18 B 28 A 38 B
9 C 19 B 29 E 39 D
10 A 20 D 30 B 40 A
158 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
GLOSARIUM
Bilangan real : terdiri atas dua jenis bilangan yaitu bilangan
rasional dan irasional.
Bilangan Rasional :
bilangan yang dapat dibentuk menjadi
b
a
dengan b
􀂏 0
Bilangan komposit : bilangan yang memiliki faktor lebih dari dua
Persen : pembagian dengan seratus
Perbandingan senilai : dua perbandingan yang nilainya sama
Perbandingan berbalik nilai : dua perbandingan yang harganya saling berbalikan
Skala : bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu
besaran nyata
Bilangan berpangkat : an didefinisikan dengan
􀀉􀀌􀀌􀀌􀀌􀀊􀀌􀀌􀀌􀀌􀀋
n
a x a x a x a x . . . . x a
Bentuk akar : akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan
bilangan irasional
Logaritma : a c = b identik dengan a log b = c
Mantise : bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma
indeks atau karakteristik : bilangan bulat dari hasil pengambilan logaritma
Persamaan : Kalimat terbuka yang memuat tanda “ sama
dengan “
Pertidaksamaan : kalimat terbuka yang memuat tanda “ < , < , > ,
>
Persamaan atau
pertidaksamaan linear
: suatu persamaan atau pertidaksamaan dengan
variabelnya berpangkat satu.
Eliminasi : melenyapkan
Subtitusi : mengganti atau menyatakan salah satu variabel
dengan variabel lainnya.
Glosarium 159
Persamaan kuadrat : persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabel
(peubah) adalah dua
Akar-akar persamaan
kuadrat
: penyelesaian persamaan kuadrat
Diskriminan :pembeda persamaan kuadrat, D = b2 – 4ac
Matriks : susunan elemen-elemen atau entri-entri yang
berbentuk persegipanjang yang diatur dalam baris
dan kolom
Ordo matriks : banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom.
Amxn berarti matriks A berordo m x n
Matriks diagonal : matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada
diagonal utamanya tidak semuanya nol.
Matriks identitas : matriks yang semua elemen pada diagonal
utamanya adalah satu dan elemen lainnya adalah
nol.
Transpose matriks : mengubah susunan matriks dari baris menjadi
kolom atau sebaliknya
minor : determinan submatriks yang tinggal setelah baris
ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A
Matriks singular : matriks yang harga determinannya = 0 atau
matriks yang tidak memiliki invers
Program Linear : cara untuk menyelesaikan suatu persoalan
(penyelesaian optimum) dengan menggunakan
metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk
persamaan-persamaan atau pertidaksamaanpertidaksamaan
linear
Model matematika : suatu rumusan (dapat berupa persamaan,
pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari
suatu penafsiran ketika menterjemahkan suatu
soal verbal.
Nilai optimum : maksimum atau minimum
Garis selidik : suatu garis yang digunakan untuk menyelidiki nilai
optimum (maksimum atau minimum) yang
diperoleh dari fungsi sasaran atau fungsi objektif.
160 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
INDEKS
A
Asosiatif.................................................................................................................................... 5, 6, 88
Adjoin................................................................................................................................99, 101, 106
B
Bentuk akar ................................................................................................................ 25, 26, 27, 40, 42
Bilangan
asli.................................................................................................................................................3
berpangkat ...................................................................................................................18, 19, 20, 22
desimal ......................................................................................................................................3, 4
irasional ............................................................................................................................... 3, 3, 23
Imajiner .........................................................................................................................................3
komposit ....................................................................................................................................3, 4
prima .........................................................................................................................................3, 4
rasional ......................................................................................................................................3, 4
real ..........................................................................................................................1, 2, 3, 5, 15, 47
Bruto ................................................................................................................................................10
C
Cramer ..................................................................................................................... 103, 104, 107, 112
D
Determinan........................................................................................................... 95, 96, 100, 101, 106
Diskon .................................................................................................................................... 8, 11, 13
Distributif................................................................................................................................ 6, 16, 88
E
Elemen ............................................................................................................... 81, 82, 83, 84, 85, 86
Elemen netral......................................................................................................................................5
Eliminasi .........................................................................................................................48, 50, 56, 102
F
Faktorisasi ............................................................................................................................. 59, 64, 68
Feasible ..............................................................................129, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 145
Fungsi
kendala ......................................................................................................................................125
objektif............................................................................125, 126, 129, 133, 134, 136, 138, 142, 147
G
Garis selidik.....................................................................................................................................136
H
Himpunan penyelesaian .. 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 62, 63, 65, 74, 75, 76, 77, 103, 106, 115, 116
Indeks 161
I
Indeks .................................................................................................................................. 30, 31, 32
Invers...................................................................................................... 95, 98, 99, 100, 101, 106, 112
penjumlahan....................................................................................................................... 5, 15, 38
perkalian ......................................................................................................................... 5, 6, 15, 39
K
Karakteristik.......................................................................................................................... 30, 31, 38
Komutatif........................................................................................................................... 5,15, 88, 91
Kofaktor.........................................................................................................................97, 98, 99, 101
L
Logaritma .............................................................................................. 2, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
M
Mantise................................................................................................................................. 30, 31, 32
Matriks
baris.............................................................................................................................................83
diagonal .......................................................................................................................................83
identitas .......................................................................................................................... 84, 93, 112
kolom...........................................................................................................................................83
nol ...............................................................................................................................................83
persegi ................................................................................................................................... 83, 84
segitiga .................................................................................................................................. 83, 84
transpose ...................................................................................................................84, 85, 86, 111
Minor...................................................................................................................... 95, 97, 98, 101, 106
N
Netto ..................................................................................................................................................9
Nilai
maksimum......................................................................129, 130, 131, 134, 136, 137, 138, 142, 144
minimum.........................................................................129, 130, 134, 136, 137, 138, 142, 143, 144
optimum.......................................................................................................................127, 129, 136
O
Operasi.............................................................................................. 2, 3, 4, 5, 6, 15, 32, 33, 87, 88, 92
Ordo............................................................................81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 95, 96, 98, 106
P
Pecahan...................................................................................................3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 16, 26, 27
Perbandingan
berbalik nilai ...................................................................................................................... 12, 13, 16
senilai .................................................................................................................................... 12, 16
Perkalian matriks......................................................................................................................... 88, 89
Persamaan
kuadrat ......................................................... 46, 47, 54, 56, 59, 61, 66, 67, 68, 70, 72, 74, 76, 77, 78
linear ............................................................................................................... 46, 47, 48, 49, 56, 57
Pertidaksamaan
kuadrat........................................................................................................................59, 62, 63, 68
linear...........................................................................................................................46, 51, 54, 56
Program linear .......................................................................................................... 113, 114, 115, 116
162 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
R
Rafaksi .........................................................................................................................................9, 11
Rumus kuadrat..................................................................................................................61, 62, 64, 68
S
Singular .................................................................................................................................. 102, 106
Sistem pertidaksamaan...........................114, 115, 123, 124, 128, 129, 130, 140, 141, 142, 143, 144, 145
Skala ..........................................................................................................................14, 15, 16, 17, 18
Substitusi.......................................................................................................................49, 50, 56, 102
T
Tarra ............................................................................................................................................9, 11
V
Verbal................................................................................................................114, 124, 128, 129, 133
DAFTAR PUSTAKA
Alders, C.J. 1987. Ilmu Aljabar. Jakarta: Pradnya Paramita.
Anton, Howard. 1988. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga
Ayres, Frank.Jr. 1972. Calculus 2 edition,Schum Outline Series. Mc. Graw Hill London: Book Company.
Anonim. 1976. Matematika 8. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Anonim. 1976. Matematika 11. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Anonim. 2003. Kurikulum SMA dan MA. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Ilman, M. Oetjoep, Gunawan dkk. 1968. Aljabar dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta: Widjaya.
Murdhana, D.M. Agung, dkk. 1986. 2000 Bank soal SMA Matematika A3. Bandung: Armico
Pratikno, Gawatri U.R, Sukamto, Nurbaya. 1999. Matematika SMK 1.Jakarta: Yudhistira
Purcell, Edwin J. Varberg Dole. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga.
Sadler, A.J. 1999. Introductory Calculus Second Edition. Australia: Sadler Family Trust.
Saltzherr, J.P, L.P. Ritchi, Lumban tobing. 1973. Aljabar dan Teori Berhitung. Jakarta: Pradnya Paramita.
Setya budhi, Wono. 1999. Matematika SMU IB. Jakarta: Pusgrafin
Spiegel, Murray R, PhD. 1993. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.
Wirodikromo, Sartono. 1996. Matematika Untuk SMU Kelas 2. Jakarta: Erlangga